PDR 1 - Klasická teorie (DIR044) - přednáška
ZS 2007/2008
M. Rokyta, KMA
Místo a čas konání přednášky: Úterý, 10:40, K11
Předběžný sylabus přednášky
1. Úvod
- 1.1. Úvodní obecné poznámky
- 1.2. Základní příklady parciálních diferenciálních rovnic
- 1.3. Cauchyova úloha pro PDR 1.řádu
2. Věta Cauchyova-Kowalevské
- 2.1. Reálně analytické funkce
- 2.2. Metoda majorizace a věta Cauchyova-Kowalevské
- 2.3. Charakteristické směry a plochy
- 2.4. Klasifikace rovnic 2. řádu
3. Laplaceova a Poissonova rovnice
- 3.1. Úvod. Fundamentální řešení Laplaceovy rovnice
- 3.2. Věta o třech potenciálech
- 3.3. Dirichletova úloha pro Laplaceovu rovnici na kouli
- 3.4. Věty o střední hodnotě pro harmonické funkce
- 3.5. Princip maxima
- 3.6. Věta Liouvilleova a věty Harnackovy
- 3.7. Dirichletova úloha pro Laplaceovu rovnici na omezené oblasti - Perronova metoda
4. Evoluční rovnice
- 4.1. Rovnice vedení tepla
- 4.2. Vlnová rovnice
Literatura
K této přednášce (i k přednášce PDR 2) již nějaký čas vznikají skripta. Stav jejich rozpracovanosti včetně úryvků textu můžete sledovat na této stránce. Z další literatury doporučuji zejména skriptum John-Nečas a knihu Renardy-Rogers.
- E.DiBenedetto: Partial Differential Equations. Birkhauser, 1995.
- P.Doktor, O.John, J.Kopáček: Příklady z matematické analýzy VI, parciální diferenciální rovnice. Skriptum MFF UK, SPN, Praha, 1983.
- L.C.Evans: Partial differential equations. AMS, Providence, 1998.
- O.John, J.Nečas: Rovnice matematické fyziky. Skriptum MFF UK, SPN, Praha, 1977.
- M.Renardy, R.C.Rogers: An Introduction to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York, 1993.
Zkouškové požadavky
Zkouškové okruhy:
Pro zkoušku 4.11. nevyžaduji znalost posledních dvou otázek. Zkouška (obecně) probíhá takto: písemně (cca během 1 hodiny) vypracujete zadané teoretické otázky z níže uvedených okruhů. Poté budeme spolu diskutovat nad těmito vašimi přípravami, já budu klást doplňující otázky atd. Časově: po dopsání přípravy si vás budu zvát na tuto diskusi, řekněme tak vždy dva na 15 minut - koho kdy dohodneme po napsání přípravy. Pokud bude někdo spěchat, lze tuto "diskusi" učinit po dohodě jindy.
Během doby, kdy přihlášení jedinci píšou své přípravy (tj. v první hodině konání zkoušky) mohu řešit s ostatními příchozími další problémy - příklady na zápočty, jejich udělování atd.
- Cauchyova úloha pro kvazilineární PDR 1. řádu: def. klasického řešení Cauchyova problému, definice charakteristiky. Metoda charakteristik pro nulovou pravou stranu - formulujte příslušná lemmata, ukažte na jednoduchém příkladě. Lemma o nenulové pravé straně.
- Věta Cauchyova-Kowalevské: definice reálně analytické funkce, formulace věty C-K, důkaz metodou majorizace - ukažte hlavní kroky důkazu. Lewyho protipříklad. Diskutujte zobecnění C-K věty pro závislost koeficientů na čase, resp. pro nenulové poč. podmínky. Ilustrujte na příkladě možná zobecnění C-K věty pro rovnice vyššího řádu, eventuelně pro zcela obecné PDR.
- Definujte charakteristický směr a plochu pro lineární rovnici k-tého řádu (ukažte, čím je tato definice motivovaná).
- Definujte eliptickou, hyperbolickou, parabolickou rovnici druhého řádu (v bodě), uveďte typické představitele (Poissonova, vlnová, vedení tepla - bez odvozování těchto rovnic), ukažte, jak se převádí rovnice 2. řádu na kanonický tvar.
- Definujte harmonickou funkci. Odvoďte větu o třech potenciálech v dimenzi 3 (na známku 1 i v dimenzi 2) a ukažte, jak z ní plyne nekonečná diferencovatelnost harmonické funkce.
- Dokažte větu o Poissonově integrálu (řešení Dirichletovy úlohy na kouli) (eventuelně diskutujte myšlenku odvození přes kulovou inverzi).
- Dokažte větu o průměru a obrácenou větu o průměru pro harmonické funkce.
- Dokažte slabý a silný princip maxima pro eliptické rovnice. Jednoznačnost řešení Dirichletovy úlohy jako důsledek.
- Dokažte větu Liouvilleovu, zformulujte věty Harnackovy.
- Konstrukce řešení Dirichletovy úlohy na omezené oblasti Perronovou metodou: uveďte bez důkazů hlavní body a myšlenku konstrukce, podrobněji vysvětlete nabývání hraniční podmínky, zejména pojem a úlohu bariéry.
- Formulujte větu o řešení Cauchovy úlohy pro rovnici vedení tepla. Dokažte slabý princip maxima pro rovnici vedení tepla - omezená (dokázat) a neomezená (formulovat, diskutovat) oblast.
- Dokažte větu o jednoznačnosti pro vlnovou rovnici, napište její řešení (bez důkazů) v prostorech různé dimenze.