Hyperbolické systémy a zákony zachování
(DIR058)

LS 2007/2008

Místo a čas konání: středa, 10:00, sem. místnost KMA, Karlín, 2. patro

Požadavky ke zkoušce

  1. Definice hyperbolického systému, definice entropie a entropických toků (podmínkami kompatibility), definice slabého entropického řešení, co je to parabolická perturbace, odvození entropické nerovnosti "metodou mizející vazkosti".

  2. Ukažte, že symetrické hyperbolické systémy mají vždy entropii - není nutno provádět všechny technické kroky, ukažte hlavní myšlenku důkazu. Zformulujte rovnici pro parabolickou perturbaci a větu o existenci a jednoznačnosti řešení (prostory, kde se pohybujeme, odhady velikosti a gradientu - toto bez důkazu)

  3. Hlavní kroky důkazu věty o existenci a jednozančnosti řešení parabolické perturbace (viz věta o otázku výše) pro globálně Lipschitzovskou nelinearitu, náznak, jak to odstranit.

  4. Definice prostorů Radonových měr M(Omega), Bochnerových prostorů L1(Q,C0(Rs)) a Linfw(Q,M(Rs)), norem v nich, duality, pljem slabé měřitelnosti, věta o tom, který je ke kterému duálem (bez důkazu))

  5. Definice Youngovy míry a důkaz existence Youngovy míry pro stejnoměrně Linf omezenou posloupnost funkcí.

  6. Charakterizace rozdílu mezi silnou a slabou konvergencí pomocí Linf-Youngových měr (4 ekvivalentní podmínky)

  7. Napsání Murat-Tartarovy identity a důkaz dirakovskosti Youngovy míry pro skalárni rovnici v 1 dimenzi na základě znalosti M.-T. rovnice (Vecchiho důkaz).