Vybrané partie z matematiky pro fyziky
(MAF006)

LS 2006/2007

Místo a čas konání: Pátek, 12:20, K3

Sylabus a průběh přednášky

  • 1. Operátorová trivia
    Opakování: vektorový prostror, LN množina, báze, dimenze, norma, skalární součin, úplnost. Banachův a Hilbertův prostor, příklady. Operátory a funkcionály, lineární a nelineární zobrazení (v konečné a nekonečné dimenzi, nečastěji v Banachových a Hilbertových prostorech). Omezenost, spojitost, linearita. Operátorová norma. Prostor omezených lineárních operátorů je Banachův. Lineární operátor je spojitý právě tehdy, když je omezený. Konečnědimenzionální lineární operátor je vždy spojitý. Převedení ODR na operátorovou rovnici, řešení pomocí operátorové rovnice. Úvahy, které vedou až k inverzi operátoru (I-T). Von Neumannova řada operátoru.
  • 2. Základ spektrální analýzy
    Vlastní čísla operátoru, spektrum, resolventní množina, bodové, spojité a reziduální spektrum. Proč je prvků spektra víc než vlastních čísel. Operátor, který nemá žádné vlastní číslo a přitom nekonečně mnoho bodů spektra. Vlastnosti spektra, spektrální poloměr. Příklad. Je prosté lineární zobrazení už "na"? Různé možnosti stavů operátoru.
  • 3. Kompaktní operátory
    Kompaktní operátory. Co je to vůbec kompaktnost (troška topologie), jak souvisí s konečnou dimenzí a proč je to důležité. B-W vlastnost. Identita není kompaktní. Spektrum kompaktního operátoru.
  • 4. Duálnost a adjungovanost
    Duální operátory, duální prostory, dualita, reprezentace spojitých lineárních funkcionálů. Rieszova věta. Je opravdu R2 podmnožinou R1? Duality, duální operátor. Adjungovaný operátor, samoadjungovaný operátor. Spektrum takovýchto a jeho vlastnosti. Báze složená z vlastních vektorů.
  • 5. Neomezené operátory
    Neomezené operátory a něco o nich. Uzavřený operátor, prostota, spektrum. Proč je definiční obor neomezeného operátoru hustý v Hilbertově prostoru, ale nesmí to být celý Hilberův prostor. Které jsou běžnější operátory při derivování, omezené či neomezené? ON báze složená z polynomů. Každý systém ortogonálních polynomů musí mít nějaký rekurentní vzorec.
  • 6. Greenovy funkce pro ODR
    Greenovy funkce pro obyčejné diferenciální rovnice: aparát pro řešení okrajových úloh na omezeném intervalu pro různé pravé strany. Sestavení Greenovy funkce a jak to souvisí s vlastními čísly operátoru, který reprezentuje okrajovou úlohu.
  • 7. Speciální funkce.
    Hypergeometrické řady a s nimi související kalkulus.

    • Termíny zkoušek

    Termíny jsme dohodli dva a sice:
    Pátek 25.5.2007, 15:00, sborovna KMA
    Pondělí 11.6.2007, 10:00, K4

    Nemusíte se nijak zapisovat, stačí, když přijdete. Ostatní mě budou muset nějak dohonit, což nemusí být jednoduché, neboť (nemaje tento semestr hlavní přednášku) budu po konci semestru poutníkem po konferencích.

    Zkouškové otázky

    1. Spojitý lineární operátor na Banachově prostoru: definice: vlastní číslo, resolventní množina, spektrum a jeho části. Napište tabulku stavů a okomentujte ji. Soustřeďte se na definice a pojmy, tvrzení nemusíte přesně dokazovat, budou-li dobře zformulována a budete-li mít ponětí o čem mluvíte..
    2. Spojitý lineární operátor na Banachově prostoru: von Neumannova řada, tj. inverzní operátor k danému operátoru, který má normu menší než jedna, ve fromě řady. Ukažte, že spektrální poloměr je menší než norma.
    3. Kompaktní operátor na Banachově prostoru. Definujte kompaktnost operátoru, pohovořte o B-W vlastnosti a její souvislosti s dimenzí prostoru. Jak je tomu s vlastností "prostoty" a vlastností "na". Napište tabulku stavů kompaktního operátoru a okomentujte ji. Popište (bez důkazů), jak vypadá spektrum kompaktního operátoru.
    4. Dualita, duální prostor, duální operátor: definujte. Dualita při výpočtu normy. Spojité operátory na Hilbertově prostoru, Rieszova věta (bez důkazu), hermitovské operátory. Udělejte jasno v tom, jak je to s adjungovaností, sdružeností, hermitovskostí atd. (vyjasněte pojmy).
    5. Vlastnosti kompaktního hermitovského operátoru na H a báze, složené z vlastnch vektorů. Věta o struktuře operátoru zadaného jako "suma alpha_n (x,e_n) e_n" v závislosti na vlastnostech posloupnosti alpha_n (bez důkazu).
    6. Neomezené operátory, problém s definičním oborem: proč hustota a proč ne celý prostor. Samoadjungovanost, symetrie, hermitovskost: vysvětlete pojmový zmatek. Uzavřený operátor a základní věty o něm.
    7. Lineární diferenciální operátor, samoadjungovaný - jeho tvary, ON báze.
    8. Greenova funkce pro okrajovou úlohu: popište konstrukci, eventuelně ukažte, proč to funguje ("důkaz").