Klasická teorie PDR (DIR005)
LS 2004/2005
M. Rokyta, KMA
Místo a čas konání: Pondělí, 17:20, K3
Sylabus
1. Úvod
- 1.1. Úvodní obecné poznámky
- 1.2. Základní příklady parciálních diferenciálních rovnic
- 1.3. Cauchyova úloha pro PDR 1.řádu
2. Věta Cauchyova-Kowalevské
- 2.1. Reálně analytické funkce
- 2.2. Metoda majorizace a věta Cauchyova-Kowalevské
- 2.3. Charakteristické směry a plochy
- 2.4. Poznámka o klasifikaci rovnic 2. řádu
3. Laplaceova a Poissonova rovnice
- 3.1. Úvod. Fundamentální řešení Laplaceovy rovnice
- 3.2. Věta o třech potenciálech
- 3.3. Dirichletova úloha pro Laplaceovu rovnici na kouli
- 3.4. Věty o střední hodnotě pro harmonické funkce
- 3.5. Princip maxima
- 3.6. Věta Liouvilleova a věty Harnackovy
- 3.7. Dirichletova úloha pro Laplaceovu rovnici na omezené oblasti - Perronova metoda
- 3.8. Harmonické funkce a Dirichletova úloha na vnější oblasti
4. Evoluční rovnice
- 4.1. Rovnice vedení tepla
- 4.2. Vlnová rovnice
Literatura
K této přednášce (i k přednášce z moderní teorie PDR) již nějaký čas vznikají skripta. Stav jejich rozpracovanosti včetně úryvků textu můžete sledovat na této stránce. Z další literatury doporučuji zejména skriptum John-Nečas a knihu Renardy-Rogers.
- E.DiBenedetto: Partial Differential Equations. Birkhauser, 1995.
- P.Doktor, O.John, J.Kopáček: Příklady z matematické analýzy VI, parciální diferenciální rovnice. Skriptum MFF UK, SPN, Praha, 1983.
- L.C.Evans: Partial differential equations. AMS, Providence, 1998.
- O.John, J.Nečas: Rovnice matematické fyziky. Skriptum MFF UK, SPN, Praha, 1977.
- M.Renardy, R.C.Rogers: An Introduction to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York, 1993.
Zkoušky
Zkouška je pouze ústní a koná se ve čtvrtcích 9.,16. a 23.6. Každý z těchto dnů bych prosil po nejvýše třech lidech na každou z uvedených hodin: 9:00, 10:00, 11:00, 14:00, 15:00. Uvedených nejvýše 15 jedinců nechť se zapíše do SIS a dohodne si mezi sebou pořadí. Rezervoval jsem posluchárnu K6, zkoušení proběhne buď v ní nebo v mé pracovně ve 2. patře..Bude-li potřeba další zkoušení, prosil bych dohodnout termín individuálně na červenec nebo září. Nejlépe mailem.
Ti, kteří nebudou psát písemku na cvičení, mohou dostat i u ústní zkoušky jeden početní příklad.
Zkouškové požadavky
Je-li někde použito obratu "eventuelně", znamená to, že příslušná neznalost nebude mít fatální důsledky na výslednou známku, může pouze jemně ovlivnit její hodnotu.
- Cauchyova úloha pro kvazilineární PDR 1. řádu: def. klasického řešení Cauchyova problému, definice charakteristiky. Metoda charakteristik pro nulovou pravou stranu - formulujte příslušná lemmata, ukažte na jednoduchém příkladě. Eventuelně diskutujte nenulovou pravou stranu.
- Věta Cauchyova-Kowalevské: definice reálně analytické funkce, formulace věty C-K, důkaz metodou majorizace - ukažte hlavní kroky důkazu. Lewyho protipříklad. Diskutujte zobecnění C-K věty pro závislost koeficientů na čase, resp. pro nenulové poč. podmínky. Ilustrujte na příkladě možná zobecnění C-K věty pro rovnice vyššího řádu, eventuelně pro zcela obecné PDR.
- Definujte charakteristický směr a plochu pro lineární rovnici k-tého řádu (naznačte, čím je tato definice motivovaná).
- Definujte eliptickou, hyperbolickou, parabolickou rovnici druhého řádu (v bodě), uveďte typické představitele (Poissonova, vlnová, vedení tepla - bez odvozování těchto rovnic).
- Definujte harmonickou funkci na omezené oblasti, harmonickou a harmonickou v užším slova smyslu (s poklesem v nekonečnu) na neomezené oblasti.
- Odvoďte větu o třech potenciálech v dimenzi 3, ukažte, jak z ní plyne nekonečná diferencovatelnost harmonické funkce na omezené oblasti.
- Dokažte větu o Poissonově integrálu (řešení Dirichletovy úlohy na kouli) (eventuelně diskutujte myšlenku odvození přes kruhovou inverzi).
- Dokažte větu o střední hodnotě a obrácenou větu o střední hodnotě pro harmonické funkce.
- Dokažte slabý a silný princip maxima pro harmonické funkce. Formulujte jeho zobecnění na obecné eliptické rovnice. Jednoznačnost řešení jako důsledek.
- Dokažte větu o odstranitelné singularitě.
- Dokažte větu Liouvilleovu, zformulujte věty Harnackovy a větu o kompaktnosti harmonických funkcí.
- Konstrukce řešení Dirichletovy úlohy na omezené oblasti Perronovou metodou: uveďte hlavní body konstrukce, definujte příslušné pojmy a bez důkazů jejich základní vlastnosti, vysvětlete úlohu bariéry při nabývání hraniční podmínky. Diskutujte jiné podmínky na hranici, zaručující nabývaní okrajové podmínky.
- Poissonův integrál pro vnějšek koule a řešení Dirichletovy úlohy na vnějšku koule. Chování řešení v nekonečnu a věta o jednoznačnsoti na vnější oblasti.
- Dokažte větu o řešení Cauchovy úlohy pro rovnici vedení tepla. Dokažte slabý princip maxima pro rovnici vedení tepla - omezená (dokázat) a neomezená (formulovat, diskutovat) oblast.
- Dokažte větu o jednoznačnosti pro vlnovou rovnici, napište její řešení (bez důkazů) v prostorech různé dimenze.
