Sylabus Vybraných kapitol z nelineárních PDR (výběrovka DIR036 )
ZS 2003/2004
Místo a čas konání: Středa, 10:40, sborovna KMA
Metody slabé konvergence v parciálních diferenciálních rovnicích
- 1. Úvod
- Motivace, slabá a slabá-* konvergence a přechod v nelinearitě, poznámka o klasické metodě kompaktnosti i jejích náhradách.
- 2. Slabá a silná konvergence v prostorech Lp
- Kompaktnost omezených množin v prostorech konečné dimenze (silná kompaktnost), reflexivních (slabá kompaktnost), duálech k separabilním prostorum (slabá-* kompaktnost).
- Slabá kompaktnost v Lp, vnořeni L1 do měr.
- 3. Linf-Youngovy míry
- Omezené posloupnosti v Linf, věta o duálu k L1(Q,C0(R)), věta o existenci Linf-Youngových měr.
- Charakterizace rozdílu mezi silnou a slabou konvergencí pomocí Youngových měr.
- 4. Div-curl lemma, Muratovo lemma
- Div-curl lemma ve dvou dimenzích, v n dimenzích (ve struktuře L2).
- Kompaktnost měr a Muratovo lemma.
- 5. Aplikace na skalární zákon zachování
- Parabolická perturbace a stejnoměrný Linf odhad; odhad gradientu v L2 závislý na 1/epsilon; entropie a entropická nerovnost.
- Representující Youngova míra; užití div-curl a Muratova lemmatu k odvozeni Murat-Tartarovy rovnice; kompenzovaná kompaktnost.
- Důkaz dirakovskosti Youngovy míry pro skalárni rovnici v 1 dimenzi, Tartarův a Vecchiho důkaz.
- 6. Zobecněné (Lp) - Youngovy míry
- Hlavní Ballova věta o existenci a vlastnostech zobecněných Youngových měr.
- 7. Hyperbolická rovnice druhého řádu (nelineární vlnová rovnice v Rn)
- Hyperbolická rovnice druhého řádu (dále jen HRDR), její souvislost s jistým hyperbolickým systémem.
- Pojem "řešení v mírách" (MVS), definice MVS pro HRDR.
- Apriorní odhady pro parabolickou regularizaci, existence a jednoznačnost řešení.
- Existence řešení v mírách pro HRDR.
Požadavky ke zkoušce
Zkouška se koná v pondělí 8.3.2004 v 12:30. Sraz před pracovnou M.R.
- Znění věty o duálu k L1(Q,C0(R)), věta o existenci Linf-Youngových měr.
- Charakterizace rozdílu mezi silnou a slabou konvergencí pomocí Linf-Youngových měr.
- Užití div-curl a Muratova lemmatu k odvozeni Murat-Tartarovy rovnice pro skalární zákon zachování.
- Důkaz dirakovskosti Youngovy míry pro skalárni rovnici v 1 dimenzi na základě znalosti M.-T. rovnice
- Hlavní Ballova věta o existenci a vlastnostech zobecněných Youngových měr.
- Definice a existence řešení v mírách pro nelineární hyperbolickou rovnici 2. řádu, znáte-li výsledky o parabolické perturbaci a Ballovu větu.
Literatura
Jde o mnohem širší soupis literatury, než nutný. Vše, co bylo odpředneseno, lze nalézt v knize [5].
- Constantine M. Dafermos: Hyperbolic systems of conservation laws, In: Systems of nonlinear PDEs, (ed. J.M.Ball), 25-70 (1983).
- Constantine M. Dafermos: Estimates for consevation laws with little viscosity, SIAM J. Math. Anal., No.2, 409-421 (1987).
- Lawrence C. Evans: Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations, CBMS Regional Conference Series in Math. No. 74, 1990.
- Peter D. Lax: Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves, Philadelphia SIAM, 1973.
- Josef Málek, Jindřich Nečas, Mirko Rokyta, Michael Růžička: Weak and measure-valued solutions to evolutionary PDEs, Chapman & Hall, 1996.
- Ronald J. DiPerna: Convergence of approximate solutions to consefvation laws, Arch. Rat. Mech. Anal., 82 (1983), 27-70.
- Ronald J. DiPerna: Convergence of the viscosity method for isentropic gas dynamics, Comm. Math. Phys., 91 (1983), 1-30.
- Denis Serre: La compacite par compensation et systemes hyperboliques non lineaires de deux equations a une dimensiion d'space, J. Maths. Pures et Appl., 65(4), 423-468 (1986).
- Denis Serre: Domaines invariantes pour les systemes hyperboliques de lois de conservation, J. Diff. Eq., 46-62, 69 (1987).
- James W. Shearer: Global existence and compactness in Lp for systems of conservation laws, PhD Thesis, University of California, Berkley, 1990.
- Luc Tartar: Compensated compactness and applications to partial differential equations, In: Nonlinear analysis and Mechanics, (ed. R.J.Knops), Heriot-Watt Symposium IV, Research Notes in Mathematics 39, Pitman, 136-192 (1979).
- Luc Tartar: The compensated compactness method applied to systems of conservation laws, In: Systems of nonlinear PDEs, (ed. J.M.Ball), 263-285 (1983).
- Italo Vecchi: Thesis, Univ. Heidelberg, 1989.