[MAF033: MA pro F, 1. ročník, ZS 2003/2004, M.Rokyta]
Požadavky k ústní části zkoušky
Obecně
Pokud není řečeno jinak, chci věty i s důkazy. Požadavky psané stojatým písmem jsou pro všechny. Otázky psané kurzívou a uvozené slovy "Na 1:" budu pokládat jen těm, kteří budou usilovat o známku 1. Věty, které považuji za nejdůležitější, jsou pro Vaši lepší orientaci v teorii analýzy podtrženy.
Okruhy otázek k ústní zkoušce
- Axiom o supremu: Omezená množina (shora, zdola); horní a dolní závora množiny; definice suprema a infima; axiom o supremu - 2 vlastnosti suprema; infimum; zavedení suprema a infima neomezených a prázdných množin.
- Zobrazení, spočetnost: Co je to zobrazení, definiční obor a obor hodnot zobrazení; prosté a inverzní zobrazení; spočetné a nespočetné množiny. Ukažte, že N, Z, Q jsou spočetné. Na 1: ukažte, že R je nespočetná množina.
- Posloupnosti reálných čísel: Pojmy: limita posloupnosti, posloupnost (ryze) monotónní, omezená. Věty: konvergentní posloupnost je omezená; početní pravidla pro limity (součet, rozdíl, podíl, součin) - případ vlastních limit s důkazem, případ nevlastních limit (aritmetika s nekonečnými body) bez důkazů. Na 1: diskutujte i některé důkazy případě aritmetických operací s nevlastními limitami. Co je to "neurčitý výraz". Nerovnosti v limitách, věta o policajtech. Monotónní posloupnost má vždy limitu; definice čísla e, znát bez důkazu odhad pro něj pomocí součtu převrácených hodnot faktoriálů (na 1: ukažte, jak se odvodí). Ukažte, že e je iracionální. Pojem podposloupnosti; Bolzano-Weierstrassova věta. Na 1: pojem hromadného bodu, limes inferior a limes superior. Pojem cauchyovské posloupnosti (B-C podmínka - vysvětlete). Věta: posloupnost je konvergentní právě tehdy, když je cauchyovská.
- Reálné funkce a jejich limity: Pojmy: monotónní a omezené (shora, zdola) funkce; sudost, lichost, periodicita; prostota, inverzní funkce; vlastní limita ve vlastním bodě; nevlastní limity a limity v nevlastních bodech; jednostranné limity; lokální omezenost funkce, která má vlastní limitu ve vlastním bodě; pravidla pro počítání limit (s důkazy pro vlastní limity, na 1: diskuse některých případů pro nevlastní limity - stejně jako u posloupností); nerovnosti v limitě. Monotónní funkce má (jednostrannou) limitu. Věta o limitě složené funkce.
- Spojitost reálné funkce: Definice spojitosti funkce v bodě; souvislost spojitosti v bodě s vlastní limitou ve vlastním bodě a funkční hodnotou; spojitost součtu, rozdílu, součinu, podílu funkcí, spojitost složené funkce; jednostranná spojitost.
- Derivace: Derivace funkce v bodě, jednostranná derivace; vyšší derivace; geometrický význam derivace; vlastní a nevlastní derivace. Souvislost derivace a spojitosti funkce v bodě; Derivace součtu, součinu, podílu. Na 1: Diferenciál; Derivace složené a inverzní funkce.
- Primitivní funkce: Definice primitivní funkce; věty: rovnost všech primitivních funkcí k dané funkci až na konstanty (diskutujte); věta: primitivní funkce je vždy spojitá; spojitá funkce má primitivní funkci (bez důkazu); integrace per partes; dvě věty o substituci.
- Hlubší vlastnosti spojitých a diferencovatelných funkcí: Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je omezená. Funkce spojitá na uzavřeném intervalu nabývá na něm maxima a minima. Věta o nabývání mezihodnot. Pojem stejnoměrné spojitosti. Na 1: Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na něm stejnoměrně spojitá. Věta o spojitém obrazu intervalu; spojitost inverzní funkce.
- Věty o střední hodnotě a jejich důsledky: Rolleova, Lagrangeova, Cauchyho věta; L'Hospitalova pravidla (s důkazem jen pro typ "0/0"); věta o jednostranné derivaci jako jednostranné limitě derivací; věta: vztah monotonie a znaménka derivace.
- Taylorův polynom: Symbolika "malé o". Taylorův polynom pro některé elementární funkce (zpaměti pro exp, sin, cos, ln, arctg, zobecněná binomická věta). Věta o Lagrangeově tvaru zbytku, Peanův tvar zbytku. Na 1: aplikujte na "nekonečný polynom", tj. Taylorovu řadu, ukažte, že exponenciála, sinus a kosinus se rovnají své řadě na R.
- Konvexní a konkávní funkce: Definice funkce (ryze) konvexní, (ryze) konkávní na intervalu; věta: souvislost konvexity s druhou derivací, pokud tato existuje; inflexní body; věta: inflexní bod a druhá derivace v bodě.
- Určitý integrál: Dělení, norma dělení, zjemnění dělení, dolní a horní součet a jeho chování, dolní a horní integrál, Riemannův integrál. Ekvivalentní podmínka existence Riemannova integrálu (pro každé epsilon existuje ...). Omezená a monotónní funkce má R-integrál. Spojitá funkce na uzavřeném intervalu má R-integrál. Věta o R-integrálu s proměnnou v horní mezí. Spojitá funkce má vždy primitivní. Newton-Leibnizova formule. Newtonův integrál. Per partes a substituce pro určitý integrál (zformulovat a vysvětlit).
Co nebudu chtít u ústní zkoušky
Úvodní povídání o množinách, výrocích, zavádění různých číselných množin; zavádění a seznam elementárních funkcí, hledání kořenů polynomů, rozklad racionálních funkcí na parciální zlomky, integraci racionálních funkcí, speciální substituce. Budu však chtít, abyste všechny početní aspekty těchto věcí uměli spolehlivě používat v praxi. (U polynomů nebudou potřeba Cardanovy vzorce, všechny polynomy vyššího stupně u písemky půjdou vyřešit metodou "uhodnutí racionálních kořenů")
Doporučená literatura
Viz sylabus přednášky.
