[MA pro F, 2. ročník, ZS 2001/2002, M.Rokyta]
Zkouškové požadavky
[ MAIN | Sylabus | Termíny | Požadavky | Statistika ]
Písemná část zkoušky
Písemná část zkoušky trvá dvě a půl hodiny, ve kterých bude nutno vyřešit čtyři příklady, které budou náhodně vybrané z následujících 6 okruhů témat:
- Řešení ODR: rovnice ve tvaru totálního diferenciálu, nebo s integračním faktorem, nebo Eulerova, nebo systém lineárních ODR.
- Variační počet: sestavit a vyřešit Euler-Lagrangeovu rovnici k danému funkcionálu, resp. najít jeho extrémy.
- Zjistit, zda daná posloupnost či řada funkcí konverguje stejnoměrně (případně k čemu), aplikace stejnoměrné konvergence (většinou limi lim nebo prohození lim a derivování nebo sumy a derivování).
- Integrace posloupností a řad funkcí, tj. většinou příklad na Leviho a Lebesgueovu větu.
- Integrály s parametrem.
- Vícerozměrná objemová integrace: Fubiniho věta a věta o substituci.
Křivkový o plošný integrál nebude v písemce, ale ústně se bude zkoušet (viz dále). Jako dříve bude možno přijít si písemku pouze "zkusit", tentokrát však za ještě přísnějších pravidel: po 15 minutách se budete muset rozhodnout, zda odcházíte od písemky bez újmy na obecnosti, nebo zda zůstáváte, čímž přistupujete ke zkoušce a obdržíte v tomto termínu jednu ze čtyř známek.
Konzultace a dotazy
Obecně jsem k dispozici pro konzultování kdykoli v pracovní den po předběžné dohodě. Telefon ke mně do pracovny: 221913269, email: mirko.rokyta@mff.cuni.cz čtu téměř denně. V případě nouze mi lze volat i na 603 342735.
POŽADAVKY K ÚSTNÍ ZKOUŠCE
| Požadavky v každém okruhu jsou rozděleny do dvou částí. Část první, "nutná" je odsazena více vlevo a je psána stojatým písmem, ta platí pro všechny, kteří chtějí udělat zkoušku. Část druhá je typu "navíc pro lepší známku", je odsazena více vpravo a je psána písmem ležatým. Ta je tu je od toho, abych z ní pokládal dodatečné otázky pro ty, kteří aspirují na lepší známku. Není-li řečeno jinak, budou mě zajímat i důkazy. |
ODR podruhé
- Lineární rovnice n-tého řádu, pojem Wronskiánu.
- Vztah mezi lineární závislostí funkcí a nulovostí Wronskiánu.
- Rovnice ve tvaru totálního diferenciálu.
- Integrační faktor a jeho speciální typy (speciální závislosti).
- Eulerova rovnice.
- Souvislost jedné rovnice n-tého řádu a soustavy n rovnic prvního řádu.
- Wronskián řešení lineární rovnice splňuje ODR 1.řádu, důsledek pro snížení stupně ODR.
- Speciální typy rovnice druhého řádu a jak se řeší.
- Banachova věta o pevném bodu.
- Lipschitzova podmínka a věta o existenci a jednoznačnosti pro systém ODR (bez důkazu).
Úvod do variačního počtu
- Pojem funkcionálu; Gateauxův diferenciál; kritický bod funkcionálu.
- Definice Gateauxova diferenciálu.
- Eulerova věta o kritickém bodu.
- Euler-Lagrangeova věta o E-L rovnici (bez důkazu lemmat, která jsou k tomu potřeba).
- Lemata, která jsou potřeba k důkazu E-L věty (principy testovacích funkcí).
- Speciální typy E-L rovnice.
- Pojem konjugovaného bodu a věty, které s tím souvisí (bez důkazu).
Posloupnosti a řady funkcí
- Pojem bodové a stejnoměrné konverence. Bolzano-Cauchyova podmínka stejnoměrné konvergence. Ekvivalentní podmínka stejnoměrné konvergence (věta o sigma_n). Nutná podmínka stejnoměrné konvergence řady. Weierstrassovo kritérium.
- Věta o limitě a spojitosti pro posloupnosti i pro řady. Věta o derivování a primitivní funkci pro posloupnosti a řady funkcí. Věta o Reimannově integrálu posloupnosti a řady spojitých funkcí.
- Z teorie mocninných řad: Abelova věta o konvergenční kružnici (bez důkazu).
- Leibnitzovo, Abel-Dirichletovo kriterium pro stejnoměrnou konvergenci (bez důkazů, s vysvětlením).
- Diniho věta (bez důkazu).
- Abelova věta o konvergenční kružnici (důkaz pro reálný bod kružnice).
Lebesgueova míra a integrál
- Interval v R^n a jeho objem, konstrukce a vlastnosti vnější Lebesgueovy míry (bez důkazu).
- Definice lebesgueovské měřitelnosti.
- Pojem sigma algebry množin, Lebesgueovsky měřitelné množiny jsou "největší možná sigma algebra".
- Nulové množiny, co je to "skoro všude", míra bodu, spočetné množiny. Otevřená množina je měřitelná.
- Pojem měřitelné funkce.
- Věta o vlastnostech systému měřitelných funkcí s důkazem buď pro supremum nebo pro složení funkcí (vyberte si).
- Spojitá funkce je měřitelná.
- Aproximativní vlastnost jednoduchých funkcí s důkazem.
- Jednoduchá funkce a její integrál. Lebesgueův integrál a jeho postupné definování i v zobecněném smyslu, pojem existence a konvergence integrálu.
- Základní vlastnosti lebesgueova integrálu (pasivní znalost bez důkazů, pasivní znamená, že já budu formulovat a budu se konkrétně ptát např.: platí tato vlastnost pro lebesgueův integrál...?)
- Věty Leviho, Lebesgueova. Fatouovo lemma. Vše s důkazy, ve verzích pro posloupnosti i řady.
- Integrály s parametrem: věty o limitě, spojitosti a derivaci.
- Fubiniho věta, věta o substituci (bez důkazů, počítejte s
možností, že budeme diskutovat nějaký příklad i u ústní zkoušky).
- Lemmata o míře sjednocení a průniku systému do sebe vložených množin (bez důkazu).
- Borelovské množiny a jejich vztah k měřitelným.
- Věta o vlastnostech systému měřitelných funkcí se všemi důkazy.
- Měřitelná funkce a 4 ekvivalentní výroky o tomto.
- Vztah mezi Riemannovým a Lebesgueovým integrálem (bez důkazu).
- Gamma funkce a její základní vlastnosti (bez důkazů).
Křivkový integrál
- Křivka; jednoduchá křivka, uzavřená křivka; tečný a normálový vektor ke křivce; vektor binormály;
- Definice křivkových integrálů obou druhů, vztahy mezi nimi, nezávislost na parametrizaci.
- Věta o výpočtu integrálu pomocí potenciálu.
- Ekvivalence nezávislosti integrálu na cestě, věta o existenci potenciálu.
Plošný integrál
- Zadání plochy, parametrizace, plošný element, normálový vektor. Orientace plochy, popisem a parametrizací.
- Definice plošných integrálů obou druhů, vztahy mezi nimi, nezávislost na parametrizaci.
To je vše, hodně štěstí u zkoušek a PF 2002, M.Rokyta.
