[MA pro F, 2. ročník, LS 2001/2002, M.Rokyta]
Zkouškové požadavky
[ MAIN | Sylabus | Termíny | Požadavky | Statistika ]
Písemná část zkoušky
Písemná část zkoušky trvá dvě a půl hodiny, ve kterých bude nutno vyřešit tyto čtyři příklady:
- Plošný a křivkový integrál, zejména integrály na Gaussovu-Greenovu a Stokesovu větu.
- Fourierovy řady: nalezněte Fourierovu řadu v sinech a kosinech (ale nejen na intervalu delky 2*Pi) k dané funkci, napište příslušnou Parsevalovu rovnost.
- Komplexní analýza: použití residuové věty k výpočtům reálných integrálů nebo komplexních křivkových integrálů.
- Fourierova a Laplaceova transformace: spočtěte specifikovanou transformaci zadané funkce, nebo vyřešte ODR pomocí Laplaceovy transformace.
Jako dříve bude možno přijít si písemku pouze "zkusit", za stejných pravidel jako ve 3. semestru, tj. po 15 minutách se budete muset rozhodnout, zda odcházíte od písemky bez újmy na obecnosti, nebo zda zůstáváte, čímž přistupujete ke zkoušce a obdržíte v tomto termínu jednu ze čtyř známek.
Konzultace
Konzultaci či diskusi o čemkoli lze uskutečnit po předběžné dohodě téměř kdykoli. Preferuji však čtvrtek po 14:00 z důvodů zvykových. Chytíte mne takto: Telefon ke mně do pracovny: 221913269, email: mirko.rokyta@mff.cuni.cz čtu téměř denně. V případě nouze mi lze volat i na číslo 603 342735.
Literatura
Z vašich reakcí na předchozí seznamy literatury vyplynulo, že vám nebude proti mysli širší seznam literatury. Zde je.
Literatura k písemné části zkoušky
- Jiří Kopáček (& kol.): Příklady z matematiky pro fyziky III. Skriptum MFF UK, SPN, 1988
(Obsahuje: Plošný integrál)
- Jiří Kopáček (& kol.): Příklady z matematiky pro fyziky IV. Skriptum MFF UK, SPN, 1988
(Obsahuje: Fourierovy řady, obě transformace, komplexní analýzu)
- Miroslav Brzezina, Ivan Netuka: Vybrané kapitoly z matematické analýzy: Příklady z analýzy v komplexním oboru. Brožurka MFF UK, 1988
(Obsahuje: Komplexní analýzu)
- L.I.Volkovskij, G.D.Lunc, I.G.Aramovič: Sbornik zadač po teorii funkcij komplexnogo peremennogo (rusky). Nauka, Moskva, 1970
(Obsahuje: Komplexní analýzu v dosti širokém záběru)
- Karel Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky I, II. Prométheus, Praha, 1995
(To není sbírka příkladů, ale souhrn matematiky ve smyslu "aplikace pro praxi"; ale najdete zde i řešené příklady)- Bartsch: Matematické vzorce.
(Matematické vzorce, co jiného.)Doporučená standardní zkoušková literatura
- Vlastní poznámky z přednášek.
- Kopáček, J.: Matematika pro fyziky IV. (Skriptum MFF UK)
- Kopáček, J.: Matematika pro fyziky V. (Skriptum MFF UK)
Další možná (doplňková) studijní literatura
- A.Kufner, J.Kadlec: Fourierovy řady, Praha 1969
- W.Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru. Academia Praha, 1977.
(Komplexka až do pokročilejšího stadia, včetně Fourierovy transformace a prostorů Lp ).
- I.Černý: Analýza v komplexním oboru. Academia, Praha, 1983.
(Dosti teoretické).
- G.H.Hardy, W.W.Rogosinski: Fourierovy řady. SNTL Alfa, Praha 1971
(Středně obtížná milá brožurka obsahuje víc, než jsme brali).
- S.Saks, A.Zygmund: Analytic functions. Warszava, Wroclav, 1952. (anglicky).
(Špičková kniha o komplexní analýze - jedna z těch, které nestárnou).
- V.J.Arsenin: Matematická fyzika - Základné rovnice a špeciálne funkcie, Alfa, Bratislava, 1977.
(Překlad z ruštiny, m.j. tu najdete povídání a speciálních funkcích, potřebných pro fyziky - Gamma a Beta funkce, Besselovy funkce, Hankelova fukce, Airyova funkce, polynomy: Legendrovy, Hermitovy, Laguerrovy. Zbytek knihy je o parciálních diferenciálních rovnicích, což je věc, kterou budeme se zájemci probírat v 3.ročníku.)Pokud byste chtěli do některé z uvedených knih nahlédnout před tím, než ji začnete shánět, můžete tak učinit v mé pracovně.
POŽADAVKY K ÚSTNÍ ZKOUŠCE
Požadavky v každém okruhu jsou rozděleny do dvou částí. Část první, "nutná" je odsazena více vlevo a je psána stojatým písmem, ta platí pro všechny, kteří chtějí udělat zkoušku. Část druhá je typu "navíc pro lepší známku", je odsazena více vpravo a je psána písmem ležatým. Ta je tu je od toho, abych z ní pokládal dodatečné otázky pro ty, kteří aspirují na lepší známku než 3. Plošný integrál
- Gauss-Ostrogradského věta (důkaz v R3)
- Důsledky G-O věty: věta o divergenci, per partes, Greenovy formule
- Stokesova věta bez důkazu.
- Odvození vztahů pro normálu a vztahů pro výpočet integrálů obou druhů, je-li plocha zadaná explicitně.
- Definice vektorového součinu n-1 vektorů v dimenzi n, geometrická interpretace, definice integrálů obou druhů v této situaci
- Gauss-Ostrogradskij v n dimenzích (bez důkazu)
- Lemma o objemu k-dimenzionálního rovnoběžnostěnu v n dimenzích, definice integrálu 1. druhu v této situaci.
Fourierovy řady
- Pojmy a definice: Trigonometrická řada, Fourierova řada vzhledem k systému funkcí, funkce po částech C1, Dirichletovo integrační jádro, Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost, Hilbertův prostor, ortogonální systém, abstraktní Fourierova řada podle OG systému prvků, úplný OG systém.
- Definice F. řady v sinech a kosinech.
- Riemann-Lebesgueovo lemma.
- Riemannova věta o lokalizaci.
- Věta o bodové konvergenci Fourierovy řady pro po částech C1 funkce.
- Derivování a integrování Fourierových řad.
- Definice Hilbertova prostoru, definice abstraktní Fourierovy řady, věta o tvaru koeficientů.
- Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost, souvislost s úplností OG systému.
- Věta o nejlepší aproximaci.
- Prostory s vahou, úplné OG systémy v obecných Hilbertových prostorech.
- Věta o tom, že řešení okrajové úlohy pro obyčejnou dif. rovnici generují OG systém (bez důkazu).
Komplexní analýza
- Pojmy a definice: Holomorfní funkce, Cauchy-Riemannovy podmínky, harmonická funkce a funkce harmonicky sdružená, jednoduše souvislá oblast, zobecněná mocninná a Laurentova řada, mezikruží konvergence, isolovaná singularita, residuum.
- Holomorfní funkce, věta o Cauchy-Riemannových podmínkách.
- (Hladké) složky holomorní funkce jsou harmonické; věta o harmonicky sdružené funkci k zadané harmonické funkci.
- Definice křivkového integrálu, definice primitivní funkce, věta o ekvivalencích výroku "míti primitivní funkci".
- Cauchyova věta, Cauchyův vzorec.
- Weierstrassova věta o holomorfnosti řad funkcí.
- Věta o mezikruží (o malém a velkém poloměru) pro zobecněnou mocninnou řadu.
- Věta: k holomorní funkci v mezikruží existuje právě jedna zobecněná řada.
- Klasifikace isolovaných singularit, definice residua.
- Ekvivalentní charakterizace odstranitelných singularit.
- Každý pól má násobnost, ekvivalentní charakterizace pólu.
- Podstatná singularita a její charakterizace pomocí Laurentovy řady.
- Pravidla pro výpočet residuí, residuová věta.
- Liouvilleova věta a základní věta algebry.
- Věta o jednoznačnosti s důsledky pro jednoznačnost rozšíření elementárních funkcí z reálné osy.
- argument/Argument, víceznačná funkce a její spojitá jednoznačná větev.
- Jordanovo lemma a lemma o malých obloucích.
- Laurentova řada a residuum v nekonečnu, Riemannova věta pro sféru (součet všech residuí včetně v nekonečnu je nula).
Fourierova a Laplaceova transformace: co bylo bez důkazů, tak bez důkazů - v rozsahu přednášky
- Pojmy a definice: Fourierova transformace přímá a opačná, multiindex, prostor S, konvoluce, hustota prostoru v jiném prostoru, Parsevalova rovnost, Laplaceova transformace, prostory L1loc a L1+.
- Definice Fourierovy transformace (F.T.) přímé a opačné pro funkce z L1, základní vlastnosti F.T.
- Vztah F.T. k derivování.
- Konvoluce, vztah F.T. a konvoluce.
- Definice a vlastnosti prostoru S, věta o inverzi pro funkce z S. Fourierova transformace součinu.
- Věta o inverzi pro funkce z L1.
- Definice Laplaceovy transformace (L.T.), její základní vlastnosti (definiční obor, holomorfnost, omezenost, limity, derivování), souvislost s F.T.
- Početní pravidla s L.T. (substituce, posunutí, derivování, integrování, konvoluce)
- Věta o inverzi pro L.T.
- Parsevalova rovnost a rozšíření F.T. na prostor L2, inverzní formule v L2.
To je vše, hodně štěstí u zkoušek a hezké prázdniny přeje M.Rokyta.