Zkousky MA pro F, LS 2000/2001

[MA pro F, 1. ročník, LS 2000/2001, M.Rokyta]

Zkouškové požadavky

[ MAIN | Sylabus | Termíny | Požadavky | Statistika ]

   Pravidla pro skládání zkoušky, konzultace
Pro průběh zkoušky platí stejná pravidla jako v zimním semestru. Heslovitě připomínám: možnost e-mailového i papírového (přednášky nebo nástěnka proti posluchárně K2) zapisování a přepisování, ještě v tomto semestru zůstává možnost odejít z písemky do 30 minut. Konzultaci ve zkouškovém období je možné uskutečnit v podstatě kdykoli, ale jen po předběžné domluvě (pro jistotu). Tuto můžete uskutečnit bud emailem na adresu mirko.rokyta@mff.cuni.cz (preferuji) nebo telefonicky. Telefon ke mně do pracovny je 2 2191 3269, v nutných případech mi můžete volat i na číslo 603 342735. Pro ty, co mě jěště nikdy nenavštívili: pracovnu mám v Karlíně, 2. patro, KMA, č. dveří 214.

   Písemná část zkoušky
Písemná část zkoušky trvá dvě hodiny, ve kterých musíte vyřešit tři příklady, vybrané z následujících témat:

Konvergence řady: půjde o zjištění, zda daná řada konverguje či ne (u řad s kladnými členy), případně zda konverguje absolutně či neabsolutně či vůbec (u řad s obecnými členy). Může se vyskytnout řada s parametrem, mocninná řada (nalezení poloměru konvergence), nebo sečtení číselné řady (pomocí vhodné mocninné řady).
Obyčejné diferenciální rovnice: lze očekávat rovnici z typů, které jsme probírali na přednášce, zejména půjde o separaci proměnných a lineární rovnice s pravou stranou.
Extrémy nebo vázané extrémy funkcí více proměnných: buď lokální (na dané otevřené množině, pomocí stacionárních bodů a druhých diferenciálů) nebo globální (na dané kompaktní množině, a to uvnitř této množiny pomocí stacionárních bodů, na hranici např. metodou Lagrangeových multiplikátorů).

   Ústní část zkoušky

Pozor: to, co bylo přednášeno v tomto semestru, je rozprostřeno ve třech různých dílech Kopáčkových skript (I, II, III). Na druhé straně: ne všechno, co je v těchto skriptech napsáno, bude vyžadováno u zkoušky (například vybrané části ODR, metrických prostorů a funkčních řad budeme dělat až v příštím semestru). Věnujte proto zkouškovým požadavkům patřičnou pozornost.
Požadavky jsou rozděleny do několika základních okruhů. V každém najdete výčet pojmů, které byste měli bez debat znát. Následuje seznam faktů z daného okruhu, které považuji za důležité. Většinou vyžaduji i důkazy, s těmito výjimkami: Pokud se někde vyskytne obrat "na známku 1" znamená to toto: neznalost důkazu nebude mít za následek vyhození, ale nejpravděpodobněji známku 3, jeho "povšechná znalost" (tj. základní nápad a nástin technické realizace, bez detailů) odpovídá známce 2, podrobná znalost odpovídá známce 1. "Bez důkazu" je bez důkazu, pro všechny.

Určitý integrál: Pojmy (definice): dělení, norma dělení, zjemnění dělení, dolní a horní součet, společné zjemnění dvou dělení, dolní a horní integrál, Riemannův integrál, integrál s proměnnou horní mezí, Newton-Leibnizova formule, zobecněný R-integrál.
Fakta (věty): Jak se chová horní a dolní součet při zjemňování dělení. Nerovnost mezi horním a dolním integrálem. Ekvivalentní podmínka existence Riemannova integrálu (pro každé epsilon existuje ...). Omezená a monotónní funkce má R-integrál. Spojitá funkce na uzavřeném intervalu má R-integrál (pozor: na 1 budu chtít i to, že taková funkce je stejnoměrně spojitá - to bylo přednášeno u funkcí více proměnných). Věta o R-integrálu s proměnnou v horní mezí. Spojitá funkce má vždy primitivní. Newton-Leibnizova formule. Zobecněný Riemannův integrál a N.-L. formule pro něj. Per partes a substituce pro určitý integrál (zformulovat a vysvětlit, na známku 1 s důkazem). Dvě věty o střední hodnotě integrálního počtu (zformulovat a vysvětlit, na známku 1 s důkazem). Věta o Riemannovských součtech (bez důkazu), vyberte si některou z aplikací a ukažte, jak se odvodí např: délka křivky, objem rotačního tělesa, atd.
Obyčejné diferenciální rovnice: Pojmy (definice): obyčejná diferenciální rovnice, řád diferenciální rovnice, rozřešená a nerozřešená rovnice, Lipschitzova podmínka, separované proměnné, lineární ODR 1. řádu, Bernoulliho rovnice, lineární ODR n-tého řádu, homogenní a nehomogenní (s pravou stranou) rovnice, variace konstant, řešení ODR pomocí řad (pozor: probíralo se u mocninných řad).
Fakta (věty): Věta o lokální existenci řešení rovnice 1. řádu (bez důkazu). Věta o jednoznačnosti řešení rovnice 1. řádu (bez důkazu). Věta o nalepování dvou řešení. Prostor řešení homogenní rovnice řádu n je lineární prostor dimenze n. Věta o řešení nehomogenní rovnice. Věta o struktuře FS pro lineární rovnici s konstantními koeficienty (lineární nezávislost FS jen na známku 1). Vysvětlete techniku variace konstant, i v případě n rovnic (bez důkazu). Vysvětlete techniku speciální pravě strany (bez důkazů, na příkladech). Praktické znalosti: vysvětlete, jak se typy rovnic, které jsme probírali, řeší.
Číselné a mocninné řady Pojmy (definice): součet řady, konvergence a divergence řady, geometrická řada, harmonická řada, absolutní a neabsolutní konvergence, podmínka Bolzano - Cauchyova, Abelova parciální sumace, mocninná řada, poloměr konvergence, kruh konvergence, analytická funkce.
Fakta (věty): Početní pravidla pro řady (uzávorkování, součet, násobek) (bez důkazu). Nutná podmínka konvergence řady. Srovnávací kritérium č. I (nerovnosti mezi členy dvou řad). Podílové a odmocninové kritérium (limitní i nelimitní). Integrální kritérium. Srovnávací kritérium II (limitní - podíl členů dvou řad). Bolzano-Cauchyova podmínka pro řady. Abelovo a Dirichletovo kritérium (důkaz jen na známku 1), Leibnizovo kritérium. Přerovnávání absolutně konvergentních řad. Násobení řad, Cauchyův součin. Existence a jednoznačnost poloměru konvergence mocniné řady (bylo rozděleno do 2 vět). Vzorce pro poloměr konvergence (bez důkazu). Vlastnosti funkce, definované mocninnou řadou (bez důkazu). Vysvětlete a ukažte na příkladech, k čemu se technika mocninných řad používá.
Funkce více proměnných Pojmy (definice): Metriky a normy na prostoru Rⁿ, vlastnosti obecné metriky a normy, okolí bodu, množina otevřená a uzavřená, omezená, vnitřek, uzávěr a hranice množiny, kompaktní množina v Rⁿ, konvergence v Rⁿ, cauchyovská posloupnost, spojitá zobrazení, stejnoměrná spojitost, parciální derivace, derivace ve směru; totální diferenciál, lokální a globální extrém, extrém vzhledem k množině, stacionární bod, vyšší parciální derivace, druhý totální diferenciál, pozitivně a negativně [semi]definitní zobrazení, indefinitní zobrazení, implicitní funkce, vázaný extrém, Lagrangeův multiplikátor.
Fakta (věty): Vlastnosti systémů otevřených a uzavřených množin. Otevřená množina je sjednocením svých okolí. Konvergence v prostoru Rⁿ je "po složkách". Charakteristika uzavřené množiny pomocí posloupností. Charakteristika kompaktní množiny pomocí posloupností. (obě tyto charakteristiky aktivně znát a umět vysvětlit, na známku 1 dokažte jednu zvolenou z nich). Ekvivalentní charakterizace limity a spojitosti. (Heineho věta). Spojitý obraz kompaktu je kompakt. Důsledky (tj. nabývaní maxima, minima, omezenost, stejnoměrná spojitost - tu pouze na známku 1). Totální diferenciál a jeho charakterizace pomocí limity. Existence totálního diferenciálu implikuje existenci derivací ve všech směrech a spojitost v bodě. Spojitost parciálních derivací implikuje existenci totálního diferenciálu (jen vědět, bez důkazu). Totální diferenciál součtu, součinu, podílu funkcí (vyberte si jedno z toho a dokažte). Totální diferenciál složené funkce, z toho plynoucí vzorec pro parciální derivování složené funkce (vysvětlete a objasněte, na známku 1 dokažte). Věta o střední hodnotě. Záměnnost vyšších parciálních derivací (bez důkazu). Taylorův vzorec. Vztah lokálního extrému a stacionárního bodu. Vztah lokálních extrémů a druhého diferenciálu. Věta o implicitních funkcích (vysvětlete v rozsahu přednášky, bez důkazu). Věta o Lagrangeových multiplikátorech (s důkazem jen pro jednu vazbu a v R²).

   Doporučená literatura

V první trojici zde uvedených knih najdete dostatečné množství příkladů ke všem třem tématům. Pokud někdo nemá k této literatuře snadný přístup, může mě navštívit. Doporučuji zejména Kopáčkova počítací skripta. Ohledně literatury k ústní zkoušce: nejblíže přednášce jsou jistě vaše vlastní zápisky z ní, z literatury pak skripta Kopáček a kolektiv, a to následujícím způsobem: v Kopáčkovi č. 1 najdete: určitý integrál; v Kopáčkovi č. 2 najdete: číselné řady, funkce více proměnných; do jejich nového vydání (1998) se vešly i diferenciální rovnice; v Kopáčkovi č. 3 najdete mocninné řady. Eventuelně v Kopáčkovi č. 3 (staré vydání) najdete diferenciální rovnice. Klasické Jarníkovy knihy jsou spíše pro studenty matematiky, ale je možné, že i mezi fyziky se najdou jejich obdivovatelé. Rudinova kniha je pro ty, kteří by se chtěli pocvičit v angličtině a zárověň se podívat, jak se analýza učí jinde.

Berman, G.N.: Sbornik zadač po kursu matěmatičeskovo analiza (rusky) Nauka, Moskva, 1977.
Děmidovič, B.P.: Sbornik zadač i upražněnij po matěmatičeskomu analizu (rusky) Nauka, Moskva, 1977.
Kopáček, J.: Příklady z matematiky pro fyziky II. (skriptum MFF UK, nové vydání = formát A5).
Kopáček, J.: Matematika pro fyziky I. (skriptum MFF UK, nové vydání = formát A5).
Kopáček, J.: Matematika pro fyziky II. (skriptum MFF UK, nové vydání = formát A5).
Kopáček, J.: Matematika pro fyziky III, nové vydání = formát A5, staré vydání = formát A4. (skriptum MFF UK).
Jarník, V.: Diferenciální počet 1, Academia Praha.
Jarník, V.: Integrální počet 1, Academia Praha.
Rudin, W.: Principles of mathematical analysis (second edition) , McGraw-Hill, 1964.
... vlastní (nebo kamarádovy/kamarádčiny) poznámky z přednášky.

       Další možná literatura (pro zvídavé)

Problémy pro pokročilé analyzníky je možno najít ve skriptech "J. Lukeš a kolektiv: Problémy z MA, skriptum MFF UK".
Diferenciální rovnice, řady, funkce více proměnných a jiné, vše pečlivě jarníkovsky zpracováno - to je skriptum "V. Jarník: Matematická analýza pro 3. semestr, skriptum MFF UK, 1978".
Z obyčejných diferenciálních rovnic v české literatuře je nejúplnější publikace: "Jaroslav Kurzweil: Obyčejné diferenciální rovnice, SNTL, 1978", ale jde většinou jen o teorii (warning).