Soupis restu a problemu APi

Sepsany jsou i resty a problemy pozdeji vyresene ci prohlasene za zrejme s odvolavkou nekam.

vs01:	(i) spojitost inv. zobrazeni mezi metr. prostory (ii) muze mit f:[0,1] -> [0,1]^2 spoj., prave dva vzory? (iii) df(x)/dx=f(x+1) (iv) veta o retrakci implikuje Brouwerovu vetu? (v) zavedeni analytickych funkci do Banachovych algeber

vs02:	Derivace funkci, vzniklych integraci pres promennou oblast - veta o transportu.

vs03:	A,B: H -> H, H Hilbertuv nad C, A kompaktni, linearni, B linearni, 0 <= (Bx,x) <= (Ax,x) pro vsechna x z H. Implikuje to B kompaktni?

vs04:	1) Existuje f spojita, f : K_{n+1} na S_n? 2) Pro jaka X plati: f : X->X, f^2=Id implikuje f ma pevny bod? 3) Pro jaka k,n plati: f : R^k->R^k, f^n=Id implikuje f ma pevny bod? (f^n je n-krat slozena f)

vs05:	Problem za vsechny prachy (presne za $10^7): Dokazte, ze existuje nekonecne mnoho prvocisel tvaru n^2+1.

vs07:	Jaka je charakterizace mnoziny linearnich kombinaci funkci exp(ilog(n)x)?

api002:	$sqrt{1+(cos x)^2 } dx (J.R.) Otazka: u_n -> u v L_1 implikuje u'_n -> u' v L_1 ? (J.R.)

api003:	1) Kdy je u = \int u' ? 2) Ekvivalence axiomu ii) a vii) v definici lin. prostoru? 3) Hammelova baze

api004:	Vztah C a W^{k,p}

api 005:	1) odhad Euklidova algoritmu 2) tvori algebraicka cisla teleso? 3) Fibonacciho posloupnost

api008	Struktura maximalnich idealu v C[0,1]

api009:	osvetlit problematiku interpolacnich prostoru

api010:	X,Y Banachovy prostory s nepr. prunikem, u_n posloupnost z pruniku u_n konv. k v (v X) v_n konv. k w (v Y) Problem: implikuje to v=w (???)

api014:	Nalezti nekomutativni okruh nemajici invertibilnich prvku krom 1.

api016:	Vyresit Besicovitchovu vetu o pokryti (L.P.)

api017:	Vyjasnit Besicovitchovu vetu o pokryti (L.P.)

api020:	rovnostranny trojuhelnik na obarvene rovine (L.P.) skrtani kazdeho k-teho cisla z N

api021:	Hromadne body posloupnosti sin n = [-1,1]

api022:	Orliczovy prostory

api025:	1) tvar zobrazeni pro transformaci nadplochy s Cauchyovou podminkou 2) kanonicky tvar rovnic 2. radu

api028:	C^k(uzaver Omega), C^infty(uzaver Omega), a prodluzitelnost ven z Omega, pri zachovani hladkosti

api029:	1) Radon-Nikodymova veta 2) Preissova veta: lim_{R -> infty} mu(B_R)/R^dim =... (pro mu borelovskou)

api035:	Kdo jsme, co jime, co vezeme?

api040:	\sum	sin n PI/4	konv. abs. pro p>1 (umime), relativne pro p in (1/2,1]
		--------------
		n^p+sin nPI/4

api041:	sum_0^infty 4^n (n!)^2/ (2n+1)!

api042:	T spoj. bilin. forma, u_n -> u, v_n -> v implikuje T(u_n,v_n) -> T(u,v).

api043:	Maximalni pocet dam tri barev, pricemz se stejnobarevne damy neohrozuji (p >= 44)

api045:	Operator, pro ktery rho(D) < \|\|D\|\| (L.P.)

api047:	Je positivni operator omezeny?

api054:	f: K -> K, K kompakt, d(f(x),f(y)) existuje fixpunkt f: R^n -> R^n, f(f(x))=x => ex. fixpunkt (REST)

api056:	Nostalgicke zamysleni nad resty Dalsi neuspesne pokusy o vyreseni restu o kompaktnim operatoru

api069:	W. Rudin na prazske prednasce v lete 1996 tvrdil: f : R^n -> R^n homeomorfismus, f^n =Id (kde f^n je n-krat slozena f). Je-li n prvocislo nebo mocnina prvocisla, pak f ma pevny bod. Navic: uz pro n=6 existuje protipriklad. Otazky: dukaz? reference? jsou podminky na n nutne? (srov. resty 2) a 3) ze IV. vyjezdniho seminare)

api085:	Pro jaka x>0 konverguje posloupnost a₀=x, a_n+1=x^a_n Rozhodnete, ma-li nasledujici hra vyhravaci strategii pro nektereho z hracu, a ma-li, tak jakou a pro koho: Koeficient u nejvyssi mocniny polynomu 10. stupne je 1. Zbyvajici realne koeficienty voli stridave dva hraci, z nichz cilem jednoho je, aby vysledny polynom mel realny koren, a cilem druheho, aby nemel. Koeficienty nemusi byt urcovany v poradi, v jakem v polynomu nasleduji, ale v poradi libovolnem. Spoctete determinant matice A rozmeru n x n, jejiz vsechny prvky jsou hodnoty b, s vyjimkou prvku na diagonale, vsech hodnoty a. Necht a>1 je takove cislo, ze existuje prirozene cislo n₀ takove ze aⁿ je cele pro vsechna n vetsi nez n₀. Ukazte, ze pak a uz je cele. Porovnejte hodnotu 2^{\sqrt{2}} a e. Porovnejte hodnotu e^{\pi} a 27.

api085:

Pro jaka x>0 konverguje posloupnost a₀=x, a_n+1=x^a_n
Rozhodnete, ma-li nasledujici hra vyhravaci strategii pro nektereho z hracu, a ma-li, tak jakou a pro koho: Koeficient u nejvyssi mocniny polynomu 10. stupne je 1. Zbyvajici realne koeficienty voli stridave dva hraci, z nichz cilem jednoho je, aby vysledny polynom mel realny koren, a cilem druheho, aby nemel. Koeficienty nemusi byt urcovany v poradi, v jakem v polynomu nasleduji, ale v poradi libovolnem.
Spoctete determinant matice A rozmeru n x n, jejiz vsechny prvky jsou hodnoty b, s vyjimkou prvku na diagonale, vsech hodnoty a.
Necht a>1 je takove cislo, ze existuje prirozene cislo n₀ takove ze aⁿ je cele pro vsechna n vetsi nez n₀. Ukazte, ze pak a uz je cele.
Porovnejte hodnotu 2^{\sqrt{2}} a e. Porovnejte hodnotu e^{\pi} a 27.

api089:	Jaky je vzor (preimage) mnoziny racionalnich cisel pro Minkowskeho "question mark" funkci, tj. co je "?_-1(Q)" ?

api099:	Bud f: R \to R fukce, jejiz graf je monotonni metricky prostor. Ma tato funkce derivaci skoro vsude? Dokazte nebo vyvratte. (A.N.) Preskace sachovy kun sachovnici "4 x n", tak, ze vystartuje z rohu, vyskytne se na kazdem poli sachovnice prave jednou, a posledni pole, na kterem stoji, je vzdaleno prave na 1 skok kone od pole, na kterem zacinal? (A.N.)