Nech� a1 < a2 < ... < an. 
Pak m�me n�sleduj�c� posloupnost rostouc�ch sou�t�: 

a1 < a2 < ... < an                             n sou�t� 
a1+an < a2+an < ... < an-1+an                  n-1 sou�t�  
a1+an-1+an < a2+an-1+an < ... < an-2+an-1+an   n-2 sou�t�  
...    
a1 + a2 + ... + an                             1 sou�et  


A celkov� je jich  1+2+ ... +n = n(n+1)/2. 



\documentstyle[11pt]{article}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
{\bf Pou�ka.} Nech� ${\bf{M}\subset\bf{Z}}$ je kone�n� nepr�zdn�
podmno�ina cel�ch ��sel, tak �e $n$ zna�� po�et prvk� ${\bf M}$.
Nech� d�le ${\bf P}$ je syst�m v�ech podmno�in ${\bf{M}}$ krom� pr�zdn�
mno�iny a
$ {\bf S}:=\{ s\in{\bf Z};s=\sum_{p\in{\bf P}}p \} $ (d�le v~textu ��k�me,
�e {\bf S} je tvo�ena sou�ty prvk� {\bf P}). Pak plat�, �e
po�et prvk� ${\bf S}$ je alespo� $(n^2+n)/2$.
\par
{\bf D�kaz.} Postupujme indukc� tak, �e v~$n$-t�m induk�n�m kroku budeme
uva�ovat $n$-prvkovou mno�inu ${\bf M}$.
\par
Prvn� krok:Nech� ${\bf M}$ poz�st�v� z~jednoho prvku $z$. Pak
${\bf P}=\{z\}$, {\bf S}=\{z\}, tedy po�et prvk� ${\bf S}$ je 1 a
tedy vskutku plat� uveden� pou�ka.
\par
$n$-t� krok: P�edpokl�dejme, �e pou�ka plat� pro v�echny mno�iny
${\bf M}$, kter� maj� $n-1$ prvk�. Podle vzorce
${\sum_{i=1}^n}i=(n^2+n)/2$ sta�� uk�zat, �e p�id�n�m $n$-t�ho prvku
do mno�iny {\bf M} zv�t�me po�et prvk� mno�iny ${\bf S}$ alespo� o~$n$.
D�le nech� prvek $z_n$, kter� p�id�v�me, je v�t�, ne� kter�koliv prvek,
kter� mno�ina zat�m obsahuje.
\par
Nyn� najdeme mno�iny, kter� zv�t� po�et prvk� mno�iny {\bf S}.
Mno�ina ${\bf P}$ obsahuje prvek
$A:=\{z_1,z_2,...,z_{n-1}\}$, kter� obsahuje n-1 prvk�. Definujeme-li
$B$ jako $A$  sjednocenou s~$\{z_n\}$, pak plat�, �e soupis
$$B,B-\{z_1\},B-\{z_2\},...,B-\{z_{n-1}\}$$ jsou mno�iny, jejich� sou�ty jsou
vz�jemn� r�zn� a z�rove� nepat�� do {\bf S}. To, �e jsou r�zn� plyne
z~r�znosti �len� $z_i$.
Nepat�� do ${\bf S}$, proto�e nejvy�� prvek mno�iny ${\bf S}$ je tvo�en
sou�tem mno�iny $A$, p�i�em� libovoln� �len soupisu m� evidentn�
v�t� sou�et (to plyne z~p�edpokladu, �e $z_n$ je v�t� ne� $z_i$ pro v�echna
$i=1..n-1$). Tedy ka�d� �len soupisu bude po proveden� $n$-t�ho
kroku nov�m prvkem mno�iny {\bf S} a soupis m� pr�v� $n$ �len�,
��m� je tvrzen� dok�z�no...tedy alespo� douf�m.


\end{document}