Témata kvalifikačních prací 2018/19
doc. Dalibor Pražák, KMA MFF UK
Můj vlastní výzkum se zabývá teorií diferenciálních
rovnic a dynamických systémů.
Kromě toho mě baví
věci týkající se teorie her, různé věty o nemožnosti,
jakož i problematika základů analýzy (mj. nestandardní analýza).
Některá nová témata vhodná např. na diplomku najdete níže
a též v SISu zde.
Aktuální témata bakalářských prací jsou
tady.
Inspiraci je možno hledat i v tématech minulých
tady.
Zájemcům rád (nezávazně) poskytnu podrobnější informace
a související literaturu.
Arrowovy věty o rozporech veřejné volby.
Průlomový článek K. Arrowa z roku 1951 inspiroval
rozsáhlou literaturu ,,vět o nemožnosti" veřejné volby.
Zjednodušeně řečeno se ukazuje, že žádné dosti bohaté
množině individuálních preferencí nelze přiřadit jednu
společnou preferenci, aniž dojdeme ke sporu či různým
nechtěným důsledkům (existence diktátorů či oligarchií,
cyklická iracionalita aj.)
Některé z těchto vět se přitom dotýkají témat analýzy,
jejíž nástroje umožňují jak elegantní důkazy, tak
i zajímavá rozšíření např. na nekonečné elektoráty.
Práce (kompilační povahy) předpokládá seznámení se
s vybranou částí časopisecké literatury a její ucelené
a čtivé zpracování.
Literatura:
- K. Arrow: A difficulty in the concept of social welfare, 1950.
- J.S. Kelly: Arrow impossibility theorems. 1978.
- P.C. Fishburn: Arrow's impossibility theorem: concise proof and infinite voters. 1970.
Globální analýza replikátorové dynamiky.
Replikátorová rovnice ("replicator dynamics" RD)
je přirozeným dynamickým rozšířením teorie maticových her. Práce by
se zaměřila především na analytické nástroje, směřující
ke _globálním_ závěrům: tj. typicky (ne)existence stacionárních
bodů a/nebo periodických řešení, robustnost vůči perturbacím,
čili strukturální stabilita, případně dynamická klasifikace.
Literatura:
- F. Vega-Redondo: Evolution, games, and economic behaviour, 1996.
- Joergen W. Weibull: Evolutionary game theory, MIT Press, 1997.
- E.C. Zeeman: Population dynamics from game theory, in
Global theory of dynamical systems, Proc. 1979.
Věty o pevném bodě v teorii diferenciálních rovnic.
Řada základních vět o pevném bodě je úzce spjata s existenčními
větami v teorii DR (Banach - Picard, Brouwer - Schauder - Peano).
Práce by se zaměřila na některé méně běžné věty (Schaeferova věta,
Leray-Schauderův princip) a jejich možné aplikace při zjednodušení
některých komplikovaných existenčních důkazů.
Literatura:
V. Pata: Fixed point theorems and applications (Polimi, 2008).
D. Pascali, S. Sburlan: Nonlinear mappings of monotone type,
Sijthoff \& Noordhoff International Publishers, 1978.
E. Feireisl, T.G. Karper, M. Pokorny: Mathematical theory of
viscous compressible fluids, Birkhauser 2016.
Aktualizováno: 09/2018