Matematika pro fyziky II
(sylabus - konečná verze.)
1. Křivkový integrál.
Charakterizace C^1 funkcí na uzavřeném intervalu. C^1-křivka
a po částech C^1-křivka. Tečný vektor, jednotkový tečný vektor,
počáteční a koncový bod. Jednoduchá a uzavřená křivka.
Křivka opačná, součet křivek. Křivkový integrál prvního
a druhého druhu - definice, základní vlastnosti.
Nezávislost křivkového integrálu na parametrizaci.
Křivkově souvislá množina. Nezávislost křivkového integrálu
na cestě. Věta o existenci potenciálu.
2. Plošný integrál.
Plocha a jednoduchá plocha. Parametrizace plochy.
Věta o zadání plochy. Vnější součin vektorů a jeho
vlastnosti. Plošný integrál 1. druhu a jeho nezávislost
na parametrizaci. Orientace plochy. Opačná orientace.
Parametrizace souhlasná s orientací. Plošný integrál
2. druhu - definice, výpočet. Zobecněná plocha,
integrál přes zobecněnou plochu.
Grammův determinant a jeho použití k výpočtům integrálů
1. druhu. Divergence, rotace, laplacián - definice
a vztahy mezi nimi.
Oblast. Vnější normála k oblasti v R^2 a R^3.
Křivka obíhající oblast v R^2 v kladném smyslu.
Gauss-Ostrogradského věta. Věta o divergenci.
Greenova věta. Výpočet divergence integrálními
průměry. Plocha s okrajem. Obíhání plochy v souhlase
s orientací. Stokesova věta. Lemma: ekvivalentní
formulace nezávislosti integrálu na cestě.
Jednoduše souvislá oblast v R^2. Postačující
podmínky existence potenciálu v R^2 a R^3.
Definice k-plochy v R^n. Zobecněný jakobián a
integrál 1. druhu přes obecnou k-plochu.
3. Fourierovy řady
Trigonometrická řada. Fourierova řada funkce.
Ortogonalita trigonometrických funkcí.
Stejnoměrně konvergující trigonometrická řada
je F.ř. svého vlastního součtu.
Fourierova řada pro obecnou periodu.
Komplexní tvar F.ř. Integrální tvar častečného
součtu F.ř., Dirichletovo integrační jádro.
Riemann-Lebesgueovo lemma (důkaz pro po částech
spojitou funkci.) Riemannova věta o lokalizaci.
Důsledek: důkaz věty o konvergenci F.ř. pro
po částech C^1 funkci. Definice prostorů L^p.
Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost
(pro trigonometrickou řadu.)
Věta o derivování trigonometrické řady člen po členu.
Souvislost hladkosti funkce a rychlosti poklesu
Fourierových koeficientů. Věta o integrování
Fourierovy řady člen po členu (důkaz pro po částech
spojitou funkci.)
4. Abstraktní Fouerierovy řady
Zobecnění definice L^p prostorů. Norma v prostoru L^p.
Youngova nerovnost. Holderova nerovnost. Minkowskéko nerovnost.
Důsledek: trojúhelníková nerovnost pro normu v L^p.
Poznámka: součet řady v normovaném prostoru,
B.C. podmínka konvergence.
Úplnost prostorů L^p (bez důkazu.)
Prostor se skalárním součinem.
Norma určena skalárním součinem.
Cauchy-Schwartzova nerovnost. Důležitý příklad: prostor L^2.
Hilbertův prostor.
Ortogonální a ortonormální systém.
Fourierova řada vůči danému OG systému.
Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost
(abstraktní tvar.)
Poznámka: Fourierova řada je nejlepší aproximace.
Úplný ortogonální systém. Věta o ekvivalentním vyjádření
úplnosti OG systému.
Důležitý příklad: trigonometrický systém je úplný v L^2(0,2pi)
(bez důkazu.) Lemma: spojitá funkce s nulovými F.k. je nutně rovna nule.
Algebraická báze. Schauderova báze.
Hustá množina. Separabilní prostor. Příklady separabilních
a neseparabilních prostorů (bez důkazu.)
5. Komplexní analýza
Komplexní číslo. Reálná a imaginární část, číslo komplexně
sdružené, absolutní hodnota. Komplexní nekonečno: početní
vlastnosti. Příklady komplexních funkcí: polynomy, racionální
funkce, exponenciála, goniometrické funkce.
Komplexní logaritmus, argument. Hlavní hodnota logaritmu a argumentu.
Obecná mocnina.
Derivace komplexní funkce - definice a základní vlastnosti.
Holomorfní funkce. Věta o Cauchy-Riemannových podmínkách.
Důsledek: úrovňové křivky reálné a imaginární části holomorfní
funkce tvoří ortogonální systém.
Křivka v C. Křivka jednoduchá, uzavřená, jednoduchá uzavřená.
Počáteční a koncový bod, geometrický obraz. Křivkový integrál:
definice a základní vlastnosti.
Jordanova křivka, její vnitřek a vnějšek, kladná a záporná orientace.
Jednoduše souvislá množina. Cauchyho věta. Lemma o velké a malé
kružnici. Lemma: funkce s nulovou derivací je na oblasti konstatní.
Cauchyho vzorec. Důsledky: holomorfní funkce je určena hodnotami
na okraji, je nekonečně derivovatelná. Charakterizace polynomů v C.
Liouvilleova věta. Základní věta algebry. Laurentova řada,
její regulární resp. hlavní část, konvergence.
Věta o mezikruží konvergence Laurentovy řady. Funkce holomorfní
v mezikruží je zde součtem (jednoznačně určené) Laurentovy řady.
Speciální případ: Taylorův rozvoj.
Reziduum funkce v bodě. Reziduová věta. Pravidla pro výpočet rezidua.
Aplikace reziduové věty na výpočty typových integrálů. Klasifikace
izolovaných singularit: odstranitelná singularita, pól násobnosti p,
podstatná singularita. Charakterizace odstranitelné singularity.
Charakterizace pólu. Charakterizace odstranitelné singularity.
Věta o jednoznačnosti s obrázkovým důkazem + pomocné lemma
(s přesným důkazem.)
6. Fourierova transformace
Definice dopředné a inverzní Fourierovy transformace.
Prostory funkcí: L^p, C_b, C_0 a C_c.
F.t. je spojité (dokonce Lipschitzovské) lineární zobrazení
z L^1 do C_b. F.t. zachovává sudost, lichost a radiální
symetrii. Vztah F.t. k derivaci. Multiindex, výška multiindexu.
Funkce nekonečně diferencovatelné s kompaktním nosičem jsou
husté v L^p (bez důkazu.) Nulovost F.t. v nekonečnu.
Konvoluce. Základní vlastnosti konvoluce. F.t. konvoluce.
Věta: funkce s omezeným nosičem, jejíž F.t. má též omezený
nosič, je nutně nulová. Gausián. F.t. gausiánu.
Lemma o integraci radiálních funkcí. Schwartzův prostor a
jeho vlastnosti. Věta o inverzi F.t. v S.
Důsledky: F.t. je vzájemně jednoznačné zobrazení S na S.
Věta o inverzi F.t. v L^1. Věta o jednoznačnosti, prostota
F.t. v L^1. L^1. Plancherelova rovnost.
Rozšíření F.t. do L^2.
Operátory X, D, jejich vlastnosti. Princip neurčitosti.
7. Laplaceova transformace
Prostor L^1_+ a jeho vlastnosti. Definice Laplaceovy transformace.
Souvislost s Fourierovou transformací. Základní vlastnosti
Laplaceovy transformace. Příklady.
L.t. derivace. Konvoluce v L^1_+. L.t. konvoluce.
Důsledek: L.t. primitivní funkce. Prostota L.t.
Věta o inverzi pro L.t.