Matematika pro fyziky

(průběžná verze sylabu k 17.12.2003)

1. Extrémy funkcí více proměnných.

Lokální a globální maximum/minimum funkce vzhledem k množině. Spojitá funkce na omezené, uzavřené množině nabývá maxima i minima. Nutná podmínka extrému uvnitř. Forma příslušná k symetrické matici. Klasifikace: pozitivně (semi)definitní, indefinitní. Postačující podmínky lokálního extrému. Sedlový bod. Věty o Lagrangeových multiplikátorech.

2. Věty o inverzní a implicitní funkci.

Lemma: omezenost parciálních derivací implikuje spojitost. Věty o impliticní funkci (s důkazem v případě jedné vazby.) Důsledek: důkaz věty s (jedním) multiplikátorem. Věta o inverzní funkci (bez důkazu.)

3. Klasický variační počet.

Funkce C^k na uzavřeném intervalu. Konstrukce shlazovací funkce. Lemma o slabé formulaci diferenciální rovnice. Gateauxův a Frechetův diferenciál. Euler-Lagrangeova rovnice funkcionálu. Zjednodušení E.-L. rovnice ve speciálních případech. Jacobiho věta (bez důkazu.)

4. Bodová a stejnoměrná konvergence.

Bodová konvergence, definice. Nevýhody bodové konvergence. Stejnoměrná konvergence. Lokálně stejnoměrná konvergence. Věta o sigma en. Bolzano-Cauchyho podmínka stejnoměrné konvergence. Moore-Osgoodova věta. Důsledek: zachování spojitosti při (lokálně) stejnoměrné konvergenci. Úplnost prostoru spojitých funkcí. Záměna limity a integrálu při stejnoměrné konvergenci. Lemma o konečném podpokrytí. Lemma o charakterizaci lokálně stejnoměrné konvergence. Diniho věta. Věta o derivování posloupnosti funkcí člen po členu. Věta o integrování posloupnosti funkcí člen po členu.

Řada funkcí. Bodová, stejnoměrná, lokálně stejnoměrná konvergence řady funkcí. Absolutní bodová, absolutně stejnoměrná a lokálně absolutně stejnoměrná konvegence řady funkcí. Nutná podmínka stejnoměrné konvergence řady. Bolzano-Cauchyho podmínka stejnoměrné konvergence řady. Věta: absolutně stejnoměrná konvergence implikuje stejnoměrnou konvergenci. Weierstrassova věta. Dirichletovo, Leibnizovo a Abelovo kriterium stejnoměrné konvergence řady. Věta o zachování spojitosti při lokálně stejnoměrné konvergenci řady. Věta o derivování řady člen po členu.

5. ODR podruhé.

Rovnice ve tvaru totálního diferenciálu. Souvislost s obyčejnými diferenciálními rovnicemi. Pojem: exaktní rovnice. Hledání integračního faktoru ve speciálním tvaru. Eulerova rovnice. Charakteristický polynom. Nalezení fundamentálního systému pro homogenní úlohu. Převedení Eulerovy rovnice na rovnici s konstantními koeficienty. Věta o lokální existenci a jednoznačnosti řešení rovnice y'=f(x,y).

6. Míra. Lebesgueova míra v R.

Pojmy: sigma-algebra, míra. Základní vlastnosti míry. Příklady: počítací míra, Diracova míra v bodě. Vnější Lebesgueova míra v R. Definice, základní vlasnosti (subaditivita, invariance vůči posunutí, vnější míra spočetné množiny.) Vnější míra intervalu je jeho délka. Carathéodoryho definice měřitelnosti. Zavedení Lebesgueovy míry v R, její základní vlastnosti. Měřitelnost intervalů, otevřených a uzavřených množin. Příklad neměřitelné množiny. Pojem "skoro všude".

7. Lebesgueův integrál v R.

Pojmy: charakteristická funkce množiny, jednoduchá funkce, měřitelná funkce. Základní vlasntosti jednoduchých a měřitelných funkcí, vztahy mezi nimi, zejm. aproximace nezáporných měřitelných funkcí jednoduchými. Lebesgueův integrál jednoduché, nezáporné a obecné měřitelné funkce. Terminologie: integrál existuje/konverguje. Základní vlastnosti Lebesgueova integrálu. Leviho věta. Vlastnosti množiny integrovatelných funkcí. Lebesgueova věta. Leviho věta pro řady. Vztah mezi Lebesgueovým a Newtonovým integrálem. Lebesgueova věta pro řady. Integrály závislé na parametru: spojitost, diferencovatelnost. Gamma funkce a její základní vlastnosti. Poznámka o hlavní hodnotě integrálu.

7. Lebesgueův integrál v R^n.

Interval v R^n, objem intervalu v R^n. Vnější míra, měřitelnost, míra v R^n. Základní vlastnosti Lebesgueovy míry v R^n (bez důkazu.) Pojem skoro všude v R^n. Poznámky k zavedení Lebesgueova integrálu v R^n. Fubiniho věta a její aplikace. Difeomorfismus, jakobián. Věta o substituci. Objem koule v obecné dimenzi.