Matematika pro fyziky
(průběžná verze sylabu k 17.12.2003)
1. Extrémy funkcí více proměnných.
Lokální a globální maximum/minimum funkce vzhledem k množině.
Spojitá funkce na omezené, uzavřené množině nabývá maxima
i minima. Nutná podmínka extrému uvnitř. Forma příslušná
k symetrické matici. Klasifikace: pozitivně (semi)definitní,
indefinitní. Postačující podmínky lokálního extrému.
Sedlový bod. Věty o Lagrangeových multiplikátorech.
2. Věty o inverzní a implicitní funkci.
Lemma: omezenost parciálních derivací implikuje spojitost.
Věty o impliticní funkci (s důkazem v případě jedné vazby.)
Důsledek: důkaz věty s (jedním) multiplikátorem.
Věta o inverzní funkci (bez důkazu.)
3. Klasický variační počet.
Funkce C^k na uzavřeném intervalu. Konstrukce shlazovací
funkce. Lemma o slabé formulaci diferenciální rovnice.
Gateauxův a Frechetův diferenciál. Euler-Lagrangeova
rovnice funkcionálu. Zjednodušení E.-L. rovnice ve
speciálních případech. Jacobiho věta (bez důkazu.)
4. Bodová a stejnoměrná konvergence.
Bodová konvergence, definice. Nevýhody bodové konvergence.
Stejnoměrná konvergence. Lokálně stejnoměrná konvergence.
Věta o sigma en.
Bolzano-Cauchyho podmínka stejnoměrné konvergence.
Moore-Osgoodova věta.
Důsledek: zachování spojitosti při (lokálně) stejnoměrné konvergenci.
Úplnost prostoru spojitých funkcí.
Záměna limity a integrálu při stejnoměrné konvergenci.
Lemma o konečném podpokrytí.
Lemma o charakterizaci lokálně stejnoměrné konvergence.
Diniho věta. Věta o derivování posloupnosti funkcí člen po členu.
Věta o integrování posloupnosti funkcí člen po členu.
Řada funkcí. Bodová, stejnoměrná, lokálně stejnoměrná konvergence
řady funkcí. Absolutní bodová, absolutně stejnoměrná a lokálně
absolutně stejnoměrná konvegence řady funkcí.
Nutná podmínka stejnoměrné konvergence
řady. Bolzano-Cauchyho podmínka stejnoměrné konvergence řady.
Věta: absolutně stejnoměrná konvergence implikuje stejnoměrnou
konvergenci. Weierstrassova věta. Dirichletovo, Leibnizovo
a Abelovo kriterium stejnoměrné konvergence řady.
Věta o zachování spojitosti při lokálně stejnoměrné
konvergenci řady. Věta o derivování řady člen po členu.
5. ODR podruhé.
Rovnice ve tvaru totálního diferenciálu. Souvislost
s obyčejnými diferenciálními rovnicemi. Pojem: exaktní
rovnice. Hledání integračního faktoru ve speciálním tvaru.
Eulerova rovnice. Charakteristický polynom. Nalezení
fundamentálního systému pro homogenní úlohu. Převedení
Eulerovy rovnice na rovnici s konstantními koeficienty.
Věta o lokální existenci a jednoznačnosti řešení rovnice
y'=f(x,y).
6. Míra. Lebesgueova míra v R.
Pojmy: sigma-algebra, míra. Základní vlastnosti míry. Příklady:
počítací míra, Diracova míra v bodě. Vnější Lebesgueova míra v R.
Definice, základní vlasnosti (subaditivita, invariance vůči posunutí,
vnější míra spočetné množiny.) Vnější míra intervalu je jeho délka.
Carathéodoryho definice měřitelnosti. Zavedení Lebesgueovy míry v R,
její základní vlastnosti. Měřitelnost intervalů, otevřených a
uzavřených množin. Příklad neměřitelné množiny. Pojem "skoro všude".
7. Lebesgueův integrál v R.
Pojmy: charakteristická funkce množiny, jednoduchá funkce, měřitelná
funkce. Základní vlasntosti jednoduchých a měřitelných funkcí,
vztahy mezi nimi, zejm. aproximace nezáporných měřitelných funkcí
jednoduchými. Lebesgueův integrál jednoduché, nezáporné a obecné
měřitelné funkce. Terminologie: integrál existuje/konverguje.
Základní vlastnosti Lebesgueova integrálu. Leviho věta.
Vlastnosti množiny integrovatelných funkcí. Lebesgueova věta.
Leviho věta pro řady. Vztah mezi Lebesgueovým a Newtonovým
integrálem. Lebesgueova věta pro řady. Integrály závislé
na parametru: spojitost, diferencovatelnost.
Gamma funkce a její základní vlastnosti.
Poznámka o hlavní hodnotě integrálu.
7. Lebesgueův integrál v R^n.
Interval v R^n, objem intervalu v R^n. Vnější míra, měřitelnost,
míra v R^n. Základní vlastnosti Lebesgueovy míry v R^n (bez důkazu.)
Pojem skoro všude v R^n.
Poznámky k zavedení Lebesgueova integrálu v R^n.
Fubiniho věta a její aplikace.
Difeomorfismus, jakobián. Věta o substituci.
Objem koule v obecné dimenzi.