Matematická analýza
(sylabus přednášky)
1. Newtonův integrál
Zobecněná primitivní funkce: definice, věta o jednoznačnosti až na konstantu.
Zobecněný přírustek funkce. Newtonův integrál: definice, terminologie -
integrál existuje/konverguje. Per-partes a věta o
substituci pro N.i., intervalová aditivita N.i. v případě konvergence.
Věta: pro spojitou, nezápornou funkci N.i. vždy
existuje; pro spojitou funkci, která má integrovatelnou majorantu, N.i.
vždy konverguje. Důsledek: spojitá funkce na omezeném uzavřeném intervalu má
N.i. vždy konečný. Pojmy: velké 'Ó', řádová rovnost.
Srovnávací věta pro N.i. Podmínky konvergence integrálu
funkce x^a u 0 a nekonečna.
2. Riemannův integrál
Dělení intervalu, horní a dolní součet, horní a dolní integrál.
Definice Riemannova integrálu. Lemma o charakterizace existence.
Příklady: Dirichletova a Riemannova funkce.
Monotónní funkce má R.i.
Stejnoměrná spojitost v R. Spojitá funkce na omezeném,
uzavřeném intervalu je stejnoměrně spojitá.
Důsledek: spojitá funkce na omezeném, uzavřeném
intervalu má R.i.
Intervalová aditivita horního a dolního integrálu,
intervalová aditivita R.i.
Integrál jakožto funkce horní meze: spojitost (všude), diferencovatelnost
v bodech spojitosti integrandu.
Důsledek: spojitá funkce má primitivní funkci.
Pro spojitou funkci na omezeném, uzavřeném intervalu
se Riemannův a Newtonův integrál shodují.
Názorný význam integrálu: plocha pod grafem funkce v
kartézských a polárních souřadnicích,
objem rotačního tělesa, délka grafu funkce.
3. Řady
Řada, částečný součet řady. Součet řady. Terminologie: řada konverguje,
diverguje, osciluje, diverguje do +/- nekonečna. Příklady: harmonická
řada, geometrická řada. Věta o aritmetice řad. Nutná podmínka konvergence.
Řady s nezápornými členy - kritéria konvergence: srovnávací,
d'Alembertovo (podílové), Cauchyho (odmocninové), integrální, Raabeho.
Kritéria založená na řádové rovnosti, velkém 'Ó'.
Řady s obecně komplexními členy. Bolzano Cauchyho podmínka konvergence
řady. Absolutní konvergence implikuje konvergenci. Neabsolutní konvergence.
Leibnizovo kritérium. Abelovo sumační lemma. Dirichletovo a Abelovo kritérium.
Omezenost částečných součtů sin(nx), cos(nx).
Přerovnávání řad. Řada s nezápornými členy přerovnáním součet
nemění. Absolutně konvergentní řada přerovnáním součet
nemění. Neabsolutně konvergentní
řadu lze přerovnat k libovolnému součtu.
Cauchyův součin řad.
V rámci kapitoly též: komplexní čísla, reálná a imaginární část,
absolutní hodnota, trojúhelníková nerovnost.
Limita posloupnosti komplexních čísel.
Charakterizace konvergence pomocí konvergence reálné a imaginární části.
Důsledky: aritmetika limit v C, Bolzanova-Cauchyho podmínka platí v C.
Pojmy řádová rovnost, velké 'Ó' pro posloupnosti.
4. Mocninné řady.
Mocninná řada. Terminologie: střed řady, poloměr konvergence, kruh konvergence,
kružnice konvergence. Věta o poloměru konvergence. Podílové a odmocninové
kritérium k výpočtu poloměru konvergence. Věta o derivování mocninné
řady člen po členu. Důsledky: spojitost, derivace vyšších řádů, integrování člen po členu,
souvislost mezi koeficienty a hodnotami derivací funkce ve středu.
Rozvoje elementárních funkcí v mocninnou řadu.
Pojem: funkce analytická v bodě. Příklad nekonečně diferencovatelné funkce, která
není analytická.
5. Obyčejné diferenciální rovnice (I)
Obecná ODR řádu n. Pojmy: řešení, prodloužení řešení, maximální řešení.
Rovnice tvaru y'=f(x,y). Věta o lokální existenci řešení pro spojitou pravou stranu
(bez důkazu). Lemma o převedení rovnice na integrální tvar. Lipschitzova podmínka vůči y.
Věta o jednoznačnosti řešení. Spojitost parciální
derivace dle y implikuje Lipschitzovu podmínku.
Základní typy rovnic prvního řádu a jak je řešit: rovnice autonomní,
se separovanými proměnnými, lineární, homogenní, Bernoulliho.
Obecná lineární ODR řádu n. Věta o globální existenci a jednoznačnosti řešení (bez důkazu).
Množina řešení homogenní rovnice stupně n je prostor dimenze n. Nalezení fundamentálního
systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Nehomogenní rovnice: tvar množiny řešení.
Variace konstant. Věta o nalezení partikulárního řešení pro rci s konstantními
koeficienty a speciální pravou stranu (bez důkazu).
X. Spočetné množiny. Mohutnost.
Spočetné množiny - definice, příklady, základní vlastnosti. Kartézský
součin spočetných množin je spočetná množina. Racionální čísla jsou
spočetná množina. Interval (0,1), reálná čísla nejsou spočetná množina.
(Nepovinně: vyčíslitelná čísla jsou spočetná. Mohutnost množiny.
Cantorova věta.)
6. Funkce více proměnných
Normovaný prostor. Příklady: R, C. Normy v R^p.
V rámci normovaných prostorů: okolí bodu,
limita funkce a posloupnosti, spojitost funkce, vztah limity a spojitosti.
Heineho věta.
Speciálně v R^p:
konvergence je ekvivalentní konvergenci po složkách.
Výpočet limit v R^2 pomocí polárních souřadnic.
Dodatek: konvergence k nekonečnu v R^p.
Derivace ve směru. Parciální derivace. Jacobiho matice, gradient.
Totální diferenciál. Existence totálního diferenciálu implikuje
spojitost.
Vztah totálního diferenciálu a derivace ve směru, speciálně
souvislost Jacobiho matice a diferenciálu.
Spojitost parciálních derivací implikuje existenci totálního diferenciálu.
Diferenciál složeného zobrazení.
Věta o střední hodnotě.
Parciální derivace vyššího řádu.
Věta o záměnnosti parciálních derivací.
Diferenciál druhého řádu. Hessova matice.
Vztah mezi diferenciálem druhého řádu a Hessovou maticí
(bez důkazu).
7. Metrické prostory
Metrický prostor. Normovaný prostor a prostor se skalárním součinem jako
speciální případy metrického prostoru.
V rámci metrických prostorů: okolí bodu, limita posloupnosti, limita funkce.
Heineho věta o charakterizaci limity funkce pomocí posloupností.
Spojitost funkce. Vztah limity a spojitosti.
Charakterizace spojitosti pomocí posloupnosti (bez důkazu).
Otevřená množina. Okolí je otevřená množina.
Věta o sjednocení a průniku otevřených množin.
Charakterizace spojitosti: vzor otevřené je otevřená.
Uzavřená množina. Charakterizace pomocí posloupností.
Vnitřek, hranice, uzávěr a vnějšek množiny.
Posloupnost a podposloupnost. Dvě ekvivalentní definice hromadného bodu.
Pojem: kompaktní množina. Kompaktní množina je uzavřená. Pojem: omezená množina (pro
normované prostory.) Kompaktní množina v normovaném prostoru je omezená.
Věta: kompaktní množiny v R^p jsou právě všechny omezené a uzavřené.
Spojitý obraz kompaktní množiny je kompaktní množina. Kompaktní množina
v R má nejmenší a největší prvek. Důsledek: spojitá funkce na kompaktu
nabývá maxima a minima. Nepovinně: charakterizace kompaktu pomocí
otevřených pokrytí.
Spojitost funkce na množině. Stejnoměrná spojitost. Spojitá funkce
na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Lipschitzovská funkce jako speciální
případ stejnoměrné spojitosti. Příklady lipschitzovských funkcí.
Věta: spojitá funkce se spojitým, omezeným
gradientem na otevřené konvexní množině v R^p je lipschitzovská.
Lemma o ekvivalenci norem v R^p. Důsledek: pojmy konvergence, otevřenosti,
uzavřenosti nezávisí v R^p na zvolené normě.
Bolzano-Cauchyova podmínka. Konvergentní posloupnost je cauchyovská.
Úplný prostor. Příklady: R, C jsou úplné.
Věta: R^p je úplný prostor. Uzavřená množina v úplném prostoru je
úplný prostor. Každý kompaktní prostor je úplný.
Banachova věta o kontrakci.