============================================================ Cvičení č.1 (1.října) téma: konvergence (absolutní, Newtonova) integrálu teorie: připomenutí definice / terminologie princip lepení, (ne)limitní srovnávací kritérium příklady ============================================================ Cvičení č.2 (8.října) demo: 0/1 x^{p-1}.(1-x)^{q-1} 0/inf |log(x)|^a / (1+x^k) formulace: věta o substituci (1d, Newton, 1-1) sami: 0/inf x^p exp(-√x) 0/inf x^p / (1+x^q) 0/1 log(sin(ax)) 0/inf log(1+x)/x^{101/100} 0/0.5 1/x|log(x)|^b demo: 1/inf sin(x)/x^p i) abs. konv. ⇐⇒ p>1 ============================================================ Cvičení č.3 (15.října) dokončení: ii) konv. ⇐ p>0 formulace: per-partes pro N.i. sami: 0/1 x^a log(x) dx sin/x^a transf y=1/x 0/inf x^n e^(-ax) 0/inf e^(-alfa.x) sin(beta.x) nebo "cos" téma: záměna limity a integrálu protipříklady: škálování k nule, utečení k nekonečnu Věta: stejnoměrná konv. na kompaktu (moc těžkopádné) Leviho věta: znění (zatím bez podrobnějších komentářů) Př.: B3) f_n(x) = 1/(1+x+x^2/n) B5) f_n(x) = 1/log(nx) ... ,,chyták`` zaměnit zde NELZE k rozmyšlení: e/inf f_n(x) = +inf ∀n ============================================================ Cvičení č.4 (22.října) dokončení: 1/ln(nx) -> 0, leč integrály -> infinity Lebesgueova věta -- znění (spolu s Levim) demo: log(x+n)/n e^{-x} cos(x) 1/(1+x/n)^n.x^(1/n) n^px/(1+x^2n^2) sami: e^{-x^n}, x^n/(1+x^{2n}), arctg(nx)/(1+x^3) POZOR: písemka č. 1 za dva týdny, tj. 5.11. ============================================================ Cvičení č.5 (29.října) Lebesgueova věta -- závěr pozn: ,,měřitelná`` a ,,s.v.`` - prakticky 0/23 exp(x^3)/1+n√x 0/inf arctg(nx)/(1+x^3) 0/inf exp(-x^n) PP1,PP4 0/inf f(x) konv., leč f(x) nejde do 0 pro x->∞ lze zaměnit limitu a integrál, ač nejsou splněny předpoklady Leviho ani Lebesguea téma: záměna řady a integrálu -- znění (Levi a Lebesgue souhrnně) 0/1 1/(1-x), 0/1 log(1+x)/x ... dokončit ============================================================ Cvičení č.6 (5. listopadu) Kontrolní test č.1 (konvergence; záměna limity a integrálu) téma: záměna řady a integrálu (obecná věta) ============================================================ Cvičení č.7 (12. listopadu) téma: integrály závislé na parametru demo: exp(-x^2-a^2/x^2), x/(e^{ax}-1) sami: √x^2+a^2, e^{-ax}{1+x^3}, sin(x)/x^a(π-x)^a ============================================================ Cvičení č.8 (19. listopadu) téma: spojitost integrálu dle parametru demo: √x^2+a^2, e^{-ax}{1+x^3}, sin(x)/x^a(π-x)^a derivace integrálu dle parametru demo: arctg(a.tg(x)) ============================================================ Cvičení č.9 (26. listopadu) téma: derivace integrálu dle parametru demo: arctg(a.tg(x)) ... dopočet v bodech 0 a 1 1-exp(-ax^2)/(x^2 exp(x^2)) x^a-1/log(x) exp(-x^2 - a^2/x^2) ... odbočka: ideál, prvoideál, dvouhodnotová míra existence prvoideálu v N, obsahujícího konečné množiny ekvivalentně: 2-hodnotová konečně-aditivní míra v N téma: Fubiniho veta -- zatím v R^2 demo 0/a log(1+a.cos(x))/cos(x) via Fubini ⋮ ⋮ ⋮ ============================================================ Poslední cvičení (7. ledna 2019) téma: integrály 3D demo: Vivianiho okénko (IČ2 19.114) (IČ2 19.115) (x^2+y^2+z^2)^2 < 8 (x^2+y^2-z^2) F4 -- pouze 1. krok (škálování a,b,c) objem anuloidu (sami: dopočet jakobiánu)