Matematika pro fyziky I
(ZS 2023/24)
16. Stejnoměrná konvergence.
Posloupnost funkcí: bodová a stejnoměrná konvergence.
Nevýhody bodové konvergence.
Zachování spojitosti, záměna limity a integrálu
při stejnoměrné konvergenci.
Lemma: ekvivalentní vyjádření stejnoměrné konvergence
pomocí sigma_n; Heineho charakterizace stejnoměrné konvergence.
p1 (2.října) ↵
Lokálně stejnoměrná konvergence.
Bolzano-Cauchyho podmínka stejnoměrné konvergence.
Úplnost prostoru spojitých funkcí.
Problém záměny pořadí limit. Moore-Osgoodova věta.
p2 (3.října) ↵
Důkaz Moore-Osgoodovy věty: dokončení.
Derivování a integrování člen po členu. Příklady.
Poznámky o zobecnění do metrických prostorů.
p3 (9.října) ↵
Stejnoměrná konvergence řady: definice, nutná podmínka.
Bolzano-Cauchyho podmínka stejnoměrné konvergence řady.
Absolutně stejnoměrná konvergence.
Absolutně stejnoměrná konvergence implikuje stejnoměrnou konvergenci.
Weierstrassova věta. Stejnoměrná omezenost posloupnosti funkcí,
stejnoměrná omezenost posloupnosti částečných součtů.
Stejnoměrná verze Leibnizova kritéria.
p4 (10.října) ↵
Stejnoměrná verze Abelova a Dirichletova kritéria.
Zachování spojitosti při součtu řady,
záměna sumy a integrálu, záměna sumy a derivace.
Příklady.
p5 (16.října) ↵
Poznámky o stejnoměrné konvergenci mocninných řad.
17. Lebesgueova míra.
Sigma-algebra množin. Míra. Prostor s mírou. Měřitelné množiny.
Příklady: počítací míra, Diracova míra. Základní vlastnosti míry.
p6 (17.října) ↵
Lebesgueovsky neměřitelná množina. Banach-Tarského paradox.
Interval v R^n. Objem intervalu. Otevřený a uzavřený interval.
Vnější Lebesgueova míra v R^n. Jednoduché vlastnosti: nezáporná,
translačně a rotačně invariantní.
Vnější míra je sigma-subaditivní. Lemma o konečném podpokrytí.
Vnější míra intervalu je rovna objemu intervalu.
Měřitelnost podle Carathéodoryho.
p7 (23.října) ↵
Carathéodoryova věta: měřitelné množiny tvoří sigma-algebru
a vnější míra je na nich sigma-aditivní.
Měřitelnost a míra intervalů.
Odbočka: měřitelné a integrovatelné funkce v R,
Leviho a Lebesgueova věta.
Další vlastnosti Lebesgueovy míry: otevřené a uzavřené množiny
jsou měřitelné. Translační invariance. Rotační invariance (bez důkazu).
p8 (24.října) ↵
Množiny Lebesgueovy míry nula. Pojem ,,skoro všude``.
Příklad neměřitelné množiny v R.
18. Lebesgueův integrál.
Měřitelná funkce. Ekvivalentní vyjádření.
p9 (30.října) ↵
Skoro všude spojitá funkce je měřitelná.
Složení spojité a měřitelné funkce je měřitelné.
Věta: zachování měřitelnosti při algebraických operacích,
maximu, minimu, absolutní hodnotě, supremu, infimu, (bodové) limitě.
Charakteristická funkce množiny. Jednoduché funkce.
Aproximace měřitelných funkcí jednoduchými funkcemi.
Definice (abstraktního) Lebesgueova integrálu.
Terminologie: integrál má smysl/konverguje; integrovatelné funkce.
p10 (31.října) ↵
Důkaz věty o aproximaci.
Nezávislost měřitelnosti/integrálu na rovnosti skoro všude
a následné zobecnění definice. Leviho věta.
p11 (6.listopadu) ↵
Princip aproximace integrálem jednoduchých funkcí zespoda.
Vlastnosti Lebesgueova integrálu: linearita, monotonie;
konečnost resp. nulovost integrandu skoro všude.
Lebesgueova věta o záměně limity a integrálu.
p12 (7.listopadu) ↵
Leviho věta pro řady. Lebesgueova věta pro řady.
Příklady. Závislost integrálu na množině integrace.
Poznámky o vztahu L.i. a R.i.
p13 (13.listopadu) ↵
Výpočet Lebesgueova integrálu pomocí primitivní funkce.
Poznámky ke vztahu Lebesgueova, Riemannova a Newtonova integrálu.
Spojitá závislost integrálu na parametru.
p14 (14.listopadu) ↵
Gamma funkce. Derivace integrálu podle parametru.
Příklady. Spojitá funkce, nemající L.i.
p15 (20.listopadu) ↵
Fubiniho věta (bez důkazu).
Difeomorfismus. Jakobián. Věta o substituci (bez důkazu).
Polární a sférické souřadnice. Příklady.
p16 (21.listopadu) ↵
19. Křivkový integrál.
Jednoduchá křivka, jednoduchá uzavřená křivka.
Parametrizace, krajní body.
Zobecněná křivka, přípustný rozklad.
Křivkový integrál 1. druhu.
Lemma o reparametrizaci. Nezávislost integrálu 1. druhu na parametrizaci.
p17 (27.listopadu) ↵
Orientace jednoduché křivky, orientovaný rozklad zobecněné křivky.
Parametrizace ve shodě s orientací.
Dodatek k lemmatu o reparametrizaci.
Integrál 2. druhu. Nezávislost na parametrizaci.
p18 (28.listopadu) ↵
Zobecněná křivka spojující body. Zobecněná uzavřená křivka.
Součet a rozdíl křivek. Základní vlastnosti
křivkového integrálu.
Křivkově souvislá množina. Oblast.
Potenciál. Lemma o integrálu potenciálního pole.
Nezávislost integrálu na cestě.
p19 (4. prosince) ↵
Důsledek: funkce s nulovým gradientem je konstantní.
Věta o potenciálu.
Tečný vektor křivky.
Věta o souvislosti integrálu prvního a druhého druhu.
V rovině: normálový vektor. Divergence a rotace.
Gaussova věta.
p20 (5. prosince) ↵
Greenova věta.
Jednoduše souvislá oblast.
Vztah nulovosti rotace a existence potenciálu v R^2.
20. Plošný integrál.
Jednoduchá plocha. Parametrizace.
p21 (11. prosince) ↵
Příklady: sféra, graf C^1 funkce.
Vnější (vektorový) součin v R^3, definice, základní vlastnosti,
geometrický význam. Plošný integrál 1. druhu.
Tečný prostor, normála, orientace jednoduché plochy.
Plošný integrál 2. druhu.
Zobecněná plocha, přípustný rozklad, orientovaný rozklad.
Integrál přes zobecněnou plochu.
Geometrický význam plošného a křivkového integrálu
(element křivky/plochy.)
p22 (12. prosince) ↵
Gaussova věta v R^3. Vztah plošného integrálu 1. a 2. druhu.
Příklad: objem anuloidu.
Grammův determinant a jeho použití při výpočtu integrálu 1. druhu.
p23 (18. prosince) ↵
Poznámky k ekvivalentní definici divergence.
Plocha s okrajem. Obíhání po okraji v kladném smyslu.
Rotace a Stokesova věta v R^3.
Jednoduše souvislá oblast. Vztah mezi nulovostí rotace
a existencí potenciálu v R^3.
Bez důkazu: lemma o reparametrizaci plochy a jeho důsledky:
normála nezávisí na parametrizaci.
Plošný integrál nezávisí na parametrizaci.
p24 (19. prosince) ↵
21. Fourierovy řady.
Trigonometrická řada. Ortogonalita trigonometrického systému.
Prostory L^p_{per}. Fourierovy koeficienty a Fourierova řada funkce.
Komplexní tvar Fourierovy řady. Parsevalova rovnost (formální důkaz).
p25 (8. ledna) ↵
Funkce po částech spojité a po částech C^N.
Věta o konvergenci Fourierovy řady (zatím b.d.).
Příklad. Dirichletovo jádro; integrální tvar F. ř.
Riemann-Lebesgueovo lemma. Aproximace L^1 funkcí hladkou funkcí (b.d.)
p26 (9. ledna) ↵