Matematická analýza I
(ZS 2005/06)
1. Úvod. Reálná čísla.
Logické spojky, kvantifikátory. Množinové operace.
Reálná čísla: algebraické vlastnosti, uspořádání.
Přirozená, celá, racionální čísla. Intervaly.
Absolutní hodnota. Trojúhelníková nerovnost.
Odmocnina. Vlastnosti přirozených čísel.
Archimédova vlastnost, princip indukce.
Každý interval obsahuje nekonečně racionálních
i iracionálních čísel.
Maximum, minimum, horní odhad, dolní odhad.
Omezená množina. Supremum, infimum. Věta
o existence suprema. Komplexní čísla.
Rozšířená reálná čísla, početní operace
s nekonečnem.
2. Reálné funkce. Limita a spojitost.
Funkce, obraz a vzor množiny. Funkce prostá, na, inverzní.
Restrikce zobrazení, složené zobrazení, definiční obor,
obor hodnot. Okolí (kruhové, prstencové, levé, pravé) bodu.
Hausdorffův princip oddělení.
Limita funkce v bodě. Limita zleva a zprava.
Dirichletova funkce, signum.
Vztah limity a jednostranných limit.
Funkce monotonní, ryze monotonní, sudá, lichá, periodická.
Funkce s vlastní limitou je omezená, funkce
s nenulovou limitou je odražená od nuly na jistém okolí.
Aritmetika limit - vlastní verze.
Funkce omezená krát funkce jdoucí do nuly jde do nuly.
Spojitost funkce v bodě. Vztah limity a spojitosti.
Spojitost polynomu, racionální funkce, odmocniny.
Funkce spojitá všude kromě jednoho bodu, funkce
spojitá jen v jednom bodě.
Limita složené funkce.
Aritmetika limit - obecná verze.
Limita typu jedna děleno nula zprava, zleva.
Zachování nerovností v limitě.
Věta o dvou policajtech.
Existence limity pro monotonní funkci.
Spojitost zleva a zprava. Souvislost s limitou a oboustrannou spojitostí.
Spojitost na intervalu.
Vnitřní a krajní bod intervalu.
Vztah mezi spojitostí funkce na intervalu a spojitostí v bodě.
Spojitost součtu, rozdílu, součinu, podílu funkcí.
Spojitost složené funkce.
Spojitost restrikce.
Darbouxova věta.
Poznámka o existence suprema/infima v R^*.
Lemma o charakterizaci intervalu.
Spojitý obraz intervalu je interval.
Věta o inverzní funkci.
Důkaz věty o existenci odmocniny.
Převedení limity v nekonečnu na jednostrannou limitu v nule.
Poznámka o funkcích z R do C: limita, spojitost.
3. Elementární funkce.
Funkce sin, cos, ln, exp a jejich základní vlastnosti.
Obecná mocnina.
Funkce arcsin, arccos, tg, arctg.
Definice elementární funkce. Příklady.
4. Derivace.
Definice derivace.
Příklady: derivace elementárních funkcí.
Derivace zleva, zprava, vztah k oboustranné derivaci.
Existence vlastní derivace implikuje spojitost.
Derivace součtu, rozdílu, součinu, podílu.
Derivace složené funkce. Derivace inverzní funkce.
Příklady: arcsin, arctg, odmocnina.
5. Primitivní funkce.
Definice primitivní funkce.
Linearita integrálu. Integrování per-partes.
První věta o substituci.
Rozklad polynomů. Rozklad racionální funkce
na parciální zlomky a jejich integrace.
Druhá věta o substituci.
Typové substituce.
Poznámky o derivaci/integrálu funkce
s komplexními hodnotami.
6. Hlubší vlastnosti derivace.
Plíživé lemma.
Funkce spojitá v bodě je omezená na nějakém okolí.
Funkce spojitá na omezeném a uzavřeném intervalu je na něm omezená.
Lokální a globální maximum a minimum.
Vztah derivace k extrému.
Funkce spojitá na omezeném, uzavřeném intervalu má bod maxima a minima.
Věty o střední hodnotě: Rolleova, Lagrangeova, Cauchyho.
Výpočet derivace limitou.
Darbouxova vlastnost. Derivace spojité funkce má Darbouxovu vlastnost.
l'Hospitalovo pravidlo.
Znaménko derivace a monotonie.
Spojitá funkce s nenulovou derivací je ryze monotonní.
Funkce (ryze) konvexní, (ryze) konkávní.
Ekvivalentní vyjádření konvexity.
Monotonie derivace a konvexita.
Znaménko druhé derivace a konvexita.
Inflexní bod.
7. Posloupnosti.
Posloupnost. Limita posloupnosti.
Konvergentní posloupnost.
Ekvivalentní vyjádření limity.
Bez důkazu: aritmetika limit, zachování nerovnosti,
věta o dvou policajtech pro posloupnosti.
Omezená a monotonní posloupnost.
Konvergentní posloupnost je omezená.
Monotonní posloupnost má vždy limitu; je-li navíc omezená, pak konverguje.
Hromadný bod posloupnosti.
Posloupnost vybraná. Ekvivalentní vyjádření hromadného bodu.
Každá omezená posloupnost má v R hromadný bod.
Bolzano-Cauchyho podmínka konvergence.
Heineho věta: charakterizace limity v bodě, charakterizace spojitosti v intervalu
pomocí posloupností.
8. Aproximace funkcí polynomy.
Malé "ó", velké "Ó", řádová rovnost.
Derivace vyšších řádů.
Funkce třídy C^n.
Taylorův polynom.
Příklady Taylorových rozvojů.
Zobecněné kombinační číslo.
Derivování a integrování Taylorova polynomu.
Algebraické vlastnosti o(x^n).
Odhad zbytku po Taylorově polynomu.
Příklady: exp(x), sin(x), cos(x).
Iracionalita čísla e.
X. Spočetnost a mohutnost.
Spočetná množina.
Množiny N, Z, Q jsou spočetné.
Interval (0,1) je nespočetný.
Mohutnost kontinua.
Hypotéza kontinua - příklad nerozhodnutelného tvrzení.
Algebraická, transcendentní a vyčíslitelná čísla.
Existují nevyčíslitelná čísla.
9. Určitý integrál.
Zobecněný přírustek funkce.
Newtonův integrál.
Funkce se stejnou derivací se liší o konstantu.
Korektnost definice Newtonova integrálu.
Vlastnosti Newtonova integrálu: linearita,
vztah k nerovnosti, per-partes, substituce.
Dělení intervalu. Horní a dolní součet,
horní a dolní Riemannův integrál.
Zjemnění dělení. Vlastnosti těchto pojmů.
Definice Riemannova integrálu.
Linearita, zachování nerovnosti pro R.i.
Intervalová aditivita pro R.i.
Nutná podmínka existence R.i.
Funkce spojitá na omezeném, uzavřeném
intervalu je na něm stejnoměrně spojitá.
Spojitá funkce má Riemannův integrál.
Monotonní, omezená funkce má R.i.
Riemannův integrál s proměnnou horní mezí.
Důsledek: existence primitivní funkci pro spojitou funkci.
Rovnost Newtonova a Riemannova integrálu pro spojitou funkci.
Názorný význam Riemannova integrálu.