NMMA574 -- Dalibor Pražák, LS 2018/19
1. Ekvivalence dynamických systémů
Ekvivalence d.s.; C^1, lineární, izochronní ekvivalence.
Nutné a postačující podmínky lineární ekvivalence lineárních
soustav. Lemma o transverzálním protínání sféry.
p1 (18.února) ↵
Ekvivalence exponenciálně stabilních lineárních soustav.
Důsledek: klasifikace lineárních hyperbolických soustav
na základě signatury příslušné matice.
Lemma : diskrétní verze Hartman-Grobmanovy věty.
(první krok důkazu).
p2 (25.února) ↵
Dne 4.3. přednáška pro nemoc odpadá.
Dokončení důkazu lemmatu.
Důkaz spojité H.G. věty.
p3 (11. března) ↵
2. Bifurkace a normální formy
Normální formy : motivační úvahy. Transformace členů řádu 2.
Operátor $ad L$. Transformace členů obecného řádu $k$.
Normální forma pro ,,Hopfovo``
ekvilibrium, k=2. Poincaré-Sternbergova věta (b.d.).
p4 (18. března) ↵
Příklady normálních forem pro jednoduché matice 2x2.
Věta o normální formě Hopfovy bifurkace -- schéma důkazu.
Normalizace členů řádu k=2 a k=3.
Poincarého zobrazení. Orbitální stabilita.
p5 (25. března) ↵
Výpočet konstanty "a" -- nástin strategie.
4. Nehladká dynamika a diferenciální inkluze
Diferenciální rovnice s pravou stranou nespojitou
(vícehodnotovou) vůči "x". Motivační příklady: Coulombovo
tření (suché tření), optimální řízení.
p6 (1. dubna) ↵
Gauseho model dravec-kořist se skrýší:
globální existence a jednoznačnost řešení.
p7 (8. dubna) ↵
Dokončení jednoznačnosti pro Gauseho model.
Problém Coulombova tření: formulace úlohy.
Důkaz jednoznačnosti.
Monotónní a maximálně-monotónní graf a jeho vlastnosti.
Lemma o uzavřenosti grafu ve slabé krát silné topologii.
p8 (15. dubna) ↵
Multifunkce: polospojitost, věty o pevných bodech.
Kakutani-Ky Fanova věta (bez důkazu).
Existence řešení pro Coulombův problém.
p9 (29. dubna) ↵
Důkaz Kakutaniho věty (pro norm. prostor).
3. Optimální regulace
Úloha (M) s volným časem a pevným koncovým bodem.
Ekvivalentní definice trajektorií pomocí multifunkce.
Měřitelnost lexikografické selekce.
p10 (6. května) ↵
Poznámka k existenci minima vzhledem k lipschitzovským
resp. po částech konstantním trajektoriím.
Uzavřenost množiny trajektorií a existence minima
za předpokladu konvexity. Opakování: úloha (B) s pevným
časem bez koncové podmínky, Pontrjaginův
princip maxima. Formulace Pontrjagina pro úlohu (M).
Pontrjaginův princip maxima pro úlohu s koncovou podmínkou.
p11 (13. května) ↵
,,Důkaz`` pomocí metody dynamického programování.
Princip bang-bang: obecná verze.
Důsledek: existence minima pro úlohu lineární vůči 'x'.
p12 (20. května) ↵