Matematika pro fyziky II

(Dalibor Pražák, LS 2012/13)

21. Fourierovy řady.

Trigonometrická řada. Trigonometrický systém a jeho ortogonalita. Fourierova řada, Fourierovy koeficienty dané funkce. Stejnoměrně konvergující trigonometrická řada je Fourierovou řadou svého součtu. Komplexní Fourierovy koeficienty, komplexní tvar Fourierovy řady. Integrální tvar Fourierovy řady. Dirichletovo jádro. Riemann-Lebesgueovo lemma. Funkce po částech spojité, po částech C^1. Věta o konvergenci Fourierovy řady (zatím bez důkazu). p1 (18.února) ↵ Riemannova věta o lokalizaci. Věta o konvergenci Fourierovy řady pro po částech spojitou funkci. Prostory L^p(a,b). Parsevalova rovnost. Vztah mezi hladkostí funkce a rychlostí konvergence Fourierových koeficientů. p2 (25.února) ↵ Věta o integrování Fourierovy řady člen po členu. Důsledek: spojitá funkce, jejíž všechny Fourierovy koeficienty jsou nulové, je nutně identicky nulová.

22. Abstraktní Fourierovy řady.

Prostory L^p. Youngova nerovnost, Hölderova nerovnost. Minkowského nerovnost (=trojúhelníková nerovnost pro L^p). Opakování: normovaný vektorový prostor. Banachův prostor. Konvergence posloupnosti a řady v normovaném prostoru. B.C. podmínka konvergence. Absolutní konvergence implikuje konvergenci. p3 (4.března) ↵ Prostor se skalárním součinem. Norma definovaná pomocí skalárního součinu. Cauchy-Schwarzova nerovnost. Hilbertův prostor. Norma a skalární součin jsou spojité operace. Ortogonální a ortonormální systém. (Abstraktní) Fourierova řada vzhledem k danému OG systému. Besselova nerovnost. Fourierova řada je vždy konvergentní -- vzhledem k normě daného prostoru. Úplný ortogonální systém. Ekvivalentní vyjádření úplnosti OG systému. Příklady úplných systémů. Tvrzení o nejlepší aproximaci (bez důkazu.) Příklady úplných OG systémů: trigonometrický systém, Legendreovy polynomy, Hermitovy polynomy (viz cvičení.) Algebraická báze. Schauderova báze. p4 (11.března) ↵

23. Komplexní analýza.

Komplexní číslo. Reálná a imaginární část, číslo komplexně sdružené, absolutní hodnota. Ztotožnění Gaussovy roviny a R^2. Komplexní nekonečno: početní vlastnosti. Příklady komplexních funkcí: polynomy, racionální funkce, exponenciála, goniometrické funkce. Komplexní logaritmus, argument. Hlavní hodnota logaritmu a argumentu. Obecná mocnina. Derivace komplexní funkce - definice a základní vlastnosti. Holomorfní funkce. Cauchy-Riemannovy podmínky. Jeden z důsledků: úrovňové množiny reálné a imaginární části holomorfní funkce tvoří kolmé křivky. Opakování: mocninná řada, poloměr konvergence. Součet mocninné řady lze v kruhu konvergence derivovat člen po členu, spec. její součet je zde holomorfní. Laurentova řada jako zobecnění mocninné řady. Hlavní a regulární část Laurentovy řady. Věta o konvergenci a holomorfnosti Laurentovy řady v tzv. mezikruží konvergence. p5 (18.března) ↵ Definice křivky v C. Křivka jednoduchá, uzavřená, jednoduchá uzavřená (= Jordanova křivka.) Vnitřek a vnějšek Jordanovy křivky. Počáteční a koncový bod křivky. Součet křivek a křivka opačná. Souvislá a jednoduše souvislá množina v C. Křivkový integrál v C. Délka křivky. Poznámky o vlastnostech a výpočtu integrálu komplexní funkce. Vlastnosti křivkového integrálu. Cauchyho věta. Lemma o velké půlkružnici. Izolovaná singularita holomorfní funkce. Lemma o malé (půl)kružnici. Aplikace -- integrace sin(x)/x. p6 (25.března) ↵ Cauchyho vzorec. Důsledky: holomorfní funkce je nutně nekonečně diferencovatelná a je jednoznačně určena hodnotami na hranici. Věta o existenci a jednoznačnosti Laurentova rozvoje. Taylorův rozvoj. Izolovaná singularita, reziduum funkce. Reziduová věta. p7 (8.dubna) ↵ Pravidla pro výpočet rezidua. Funkce s nulovou derivací v souvislé množině je konstantní. Liouvilleova věta: funkce, která je holomorfní a omezená v celém C je nutně konstantní. Základní věta algebry (polynom kladného stupně má alespoň jeden nulový bod v C). Typy izolovaných singularit: odstranitelná singularita, pól, podstatná singularita. Charakterizace odstranitelné singularity. Charakterizace pólu. Hustá množina. Charakterizace podstatné singularity. p8 (15.dubna) ↵ Hromadný bod množiny. Věta o jednoznačnosti.

24. Fourierova transformace.

Definice F.t. Inverzní F.t. Základní vlastnosti F.t. (škálování a posunutí argumentu.) Zachování sudosti, lichosti, radiální symetrie při F.t. Přehled prostorů funkcí: L^1, C, C_b, C_o, C_c. Vztah F.t. a derivace. Příklad: F.t. laplaciánu. p9 (22.dubna) ↵ Hustota nekonečně hladkých funkcí v L^1 (bez důkazu.) Limita F.t. v nekonečnu je 0. Nosič funkce. Mají-li f i její F.t. omezený nosič, je nutně f=0. Vyjádření derivací, polynomů pomocí multiindexu. Zobecnění věty o vztahu derivace a F.t. Schwartzův prostor rychle klesajících funkcí a jeho základní vlastnosti. Lemma o integraci radiálních funkcí (b.d.). F.t. zobrazuje Schwartzův prostor do sebe. Gausián a jeho F.t. p10 (29.dubna) ↵ Konvoluce. Základní odhady konvoluce. F.t. konvoluce. Diracova funkce - důležitý, (pro nás zatím) neexistující objekt. Chování Diracovy funkce při konvoluci a F.t. Lemma o aproximaci Diraca. Věta o inverzi Fourierovy transformace na Schwartzově prostoru. Důsledky: F.t. zobrazuje S na sebe vzájemně jednoznačně. Lemma o přehození F.t. p11 (6.května) ↵ Placherelova rovnost neboli zachování normy a skalárního součinu v L^2 při F.t. Zavedení F.t. v L^2 a jeho vlastnosti. Poznámky o výpočtu. Princip neurčitosti -- některá jeho vyjáření. Heisenbergova verze principu neurčitosti. p12 (13.května) ↵ Aplikace F.t.: fundamentální řešení rovnice vedení tepla v R^n. Poznámky k F.t. Diracovy funkce. Řešení zkouškových příkladů.