Matematika pro fyziky I
(ZS 2012/13)
15. Stejnoměrná konvergence.
Posloupnost funkcí: bodová a stejnoměrná konvergence.
Nevýhody bodové konvergence.
Zachování spojitosti, záměna limity a integrálu při stejnoměrné
konvergenci. Lokálně stejnoměrná konvergence.
Lemma: ekvivalentní vyjádření stejnoměrné konvergence
pomocí sigma_n; Heineho charakterizace stejnoměrné konvergence.
p1 (2.října) ↵
Bolzano-Cauchyho podmínka stejnoměrné konvergence.
Úplnost prostoru spojitých funkcí.
Problém záměny pořadí limit. Moore-Osgoodova věta.
p2 (3.října) ↵
Derivování a integrování člen po členu.
Stejnoměrná konvergence řady: definice, nutná podmínka.
Bolzano-Cauchyho podmínka stejnoměrné konvergence řady.
Absolutně stejnoměrná konvergence.
Absolutně stejnoměrná konvergence implikuje stejnoměrnou konvergenci.
p3 (9.října) ↵
Weierstrassova věta. Stejnoměrná omezenost posloupnosti funkcí,
stejnoměrná omezenost posloupnosti částečných součtů.
Stejnoměrná verze Leibnizova a Dirichletova kritéria.
p4 (10.října) ↵
Stejnoměrná verze Abelova kritéria.
Zachování spojitosti při součtu řady,
záměna sumy a integrálu, záměna sumy a derivace.
Poznámky o zobecnění do metrických prostorů.
Poznámky o stejnoměrné konvergenci mocninných řad.
16. Variační počet.
Základní úloha klasického variačního počtu.
Příklady: minimální rotační plocha; maximální plocha pod křivkou
dané délky.
Funkcionál v normovaném prostoru: spojitost,
Gâteauxův a Fréchetův diferenciál.
p5 (16.října) ↵
Přítomnost extrému implikuje nulový diferenciál.
Tvar Gâteauxova diferenciálu úlohy (U).
Diracova funkce -- jak ji aproximovat. Nosič funkce.
C^1 funkce na obecném intervalu.
Shlazovací funkce.
p6 (17.října) ↵
Lemma o slabé formulaci diferenciální rovnice.
Euler-Lagrangeova rovnice funkcionálu. Extremála.
Legendreova věta: nutná podmínka lokálního maxima/minima.
Příklad: minimální rotační plocha.
p7 (23.října) ↵
Jacobiho rovnice, konjugovaný bod. Jacobiho věta (bez důkazu).
Variační úloha s vazbou, existence Lagrangeova multiplikátoru (bez důkazu).
Příklad: plocha pod křivkou dané délky.
p8 (24.října) ↵
17. Lebesgueova míra.
Sigma-algebra množin. Míra. Prostor s mírou. Měřitelné množiny.
Příklady: počítačí míra, Diracova míra. Základní vlastnosti
míry. Lebesgueovsky neměřitelná množina. Banach-Tarského paradox.
Interval v R^n. Objem intervalu. Otevřený a uzavřený interval.
Vnější Lebesgueova míra v R^n. Jednoduché vlastnosti: nezáporná,
translačně a rotačně invariantní (náznak důkazu).
p9 (30.října) ↵
Vnější míra je sigma-subaditivní. Lemma o konečném podpokrytí.
Vnější míra intervalu je rovna objemu intervalu.
Měřitelnost podle Carathéodoryho.
Carathéodoryova věta: měřitelné množiny tvoří sigma-algebru
a vnější míra je na nich sigma-aditivní.
p10 (31.října) ↵
Dokončení důkazu Carathéodoryovy věty.
Měřitelnost a míra intervalů.
Další vlastnosti Lebesgueovy míry: otevřené a uzavřené množiny
jsou měřitelné. Translační invariance. Rotační invariance (bez důkazu).
p11 (6.listopadu) ↵
Nulové množiny. Pojem ,,skoro všude``.
18. Lebesgueův integrál.
Měřitelná funkce. Ekvivalentní vyjádření.
Skoro všude spojitá funkce je měřitelná.
Složení spojité a měřitelné funkce je měřitelné.
Věta: zachování měřitelnosti při algebraických operacích,
maximu, minimu, absolutní hodnotě, supremu, infimu, (bodové) limitě.
p12 (7.listopadu) ↵
Charakteristická funkce množiny. Jednoduché funkce.
Aproximace měřitelných funkcí jednoduchými funkcemi.
Definice (abstraktního) Lebesgueova integrálu.
Terminologie: integrál má smysl/konverguje; integrovatelné funkce.
Nezávislost měřitelnosti/integrálu na rovnosti skoro všude
a následné zobecnění definice.
p13 (13.listopadu) ↵
Leviho věta. Princip aproximace integrálem jednoduchých funkcí zespoda.
Vlastnosti Lebesgueova integrálu: linearita, monotonie;
konečnost resp. nulovost integrandu skoro všude.
p14 (14.listopadu) ↵
Lebesgueova věta o záměně limity a integrálu. Leviho věta pro řady.
Lebesgueova věta pro řady.
p15 (20.listopadu) ↵
Závislost integrálu na množině integrace.
Výpočet Lebesgueova integrálu pomocí primitivní funkce.
Poznámky ke vztahu Lebesgueova, Riemannova a Newtonova integrálu.
Spojitá závislost integrálu na parametru.
Podmínku o existenci integrovatelné majoranty nelze vynechat.
p16 (21.listopadu) ↵
Příklady. Gamma funkce.
Derivace integrálu podle parametru.
Fubiniho věta (bez důkazu).
p17 (27.listopadu) ↵
Difeomorfismus. Jakobián. Věta o substituci (bez důkazu).
19. Křivkový integrál.
Jednoduchá křivka, jednoduchá uzavřená křivka.
Parametrizace, krajní body.
Zobecněná křivka, přípustný rozklad.
Křivkový integrál 1. druhu.
p18 (28.listopadu) ↵
Lemma o reparametrizaci. Nezávislost na parametrizaci.
Orientace jednoduché křivky, orientovaný rozklad zobecněné křivky.
Parametrizace ve shodě s orientací.
Dodatek k lemmatu o reparametrizaci.
Integrál 2. druhu. Nezávislost na parametrizaci.
Zobecněná křivka spojující body. Zobecněná uzavřená křivka.
Křivkově souvislá množina. Oblast.
p19 (4.prosince) ↵
Potenciál. Lemma o integrálu potenciálního pole.
Důsledek: funkce s nulovým gradientem je konstantní.
Nezávislost integrálu na cestě.
Věta o potenciálu.
Tečný vektor křivky.
Věta o souvislosti integrálu prvního a druhého druhu.
p20 (5.prosince) ↵
V rovině: normálový vektor. Divergence a rotace.
Gaussova a Greenova věta.
Jednoduše souvislá oblast.
Vztah nulovosti rotace a existence potenciálu v R^2.
p21 (11.prosince) ↵
20. Plošný integrál.
Jednoduchá plocha. Parametrizace. Okraj plochy.
Příklady: sféra, graf C^1 funkce.
Vnější součin vektorů v R^3, definice, základní vlastnosti,
geometrický význam.
Plošný integrál 1. druhu.
Tečný prostor, normála, orientace jednoduché plochy.
Plošný integrál 2. druhu.
Zobecněná plocha, přípustný rozklad, orientovaný rozklad.
Integrál přes zobecněnou plochu.
p22 (12.prosince) ↵
Opakování pojmů: difeomorfismus, věta o inverzi, věta o substituci v R^k.
Lemma o reparametrizaci a jeho důsledky: tečný prostor, normála nezávisí
na parametrizaci. Poznámka, jak korektně zavést orientaci.
Plošný integrál nezávisí na parametrizaci.
p23 (18.prosince) ↵
Grammův determinant a jeho použití při výpočtu integrálu 1. druhu.
Příklad: válcové souřadnice.
Vztah plošného integrálu 1. a 2. druhu.
Gaussova věta v R^3.
p24 (19.prosince) ↵
Plocha s okrajem. Obíhání po okraji v kladném smyslu.
Rotace a Stokesova věta v R^3.
Jednoduše souvislá oblast. Existence potenciálu v R^3.
p25 (2.ledna) ↵
Poznámky k existenci potenciálu v R^n.
Dodatky:
Důsledky věty o divergenci: Greenovy formule. Limitní
charakterizace divergence a laplaceova operátoru.
Příklady na větu o substituci. Objem koule v R^n.