Vlastnosti posloupností

Jelikož posloupnosti jsou pouze speciální typ funkce, vlastnosti a jejich definice vám jistě budou povědomé. U posloupností se ale většinou zkoumá pouze monotónnost a omezenost dané posloupnosti. Tím lépe, nebude toho tolik.

Monotónnost posloupnosti

Definice

Posloupnost \((a_n)\) se nazývá rostoucí právě tehdy, když

\(\forall n, m \in D: n \lt m \Rightarrow a_n \lt a_m\)

Pro zjišťování, zda je posloupnost rostoucí se nám bude více hodit následující věta. Bude řečena pouze pro nekonečnou posloupnost s definičním oborem \(N\), po drobné úpravě by ovšem platila i pro konečné posloupnosti. U konečných posloupností je třeba dát pozor na "kraje" definičního oboru.

Věta

Posloupnost \((a_n)_{n=1}^{\infty}\) je rostoucí právě tehdy, když \(\forall n \in N \) platí \(a_{n+1} \gt a_n\)
Obr. 3.1: Graf rostoucí posloupnosti
Obr. 3.1: Graf rostoucí posloupnosti
Příklady

\(\{-1, 1, 3, 5, 7, \ldots \}\)
\(a_n = 5n^2 - 13\)
\(a_n = a_{n-1} + 5\), \(a_1 = 1\)

Definice

Posloupnost \((a_n)\) se nazývá klesající právě tehdy, když

\(\forall n, m \in D: n \lt m \Rightarrow a_n \gt a_m\)

Věta

Posloupnost \((a_n)_{n=1}^{\infty}\) je klesající právě tehdy, když \(\forall n \in N \) platí \(a_{n+1} \lt a_n\)
Obr. 3.2: Graf klesající posloupnosti
Obr. 3.2: Graf klesající posloupnosti
Příklady

\(\{1, {1 \over 2}, {1 \over 3}, {1 \over 4}, {1 \over 5}, \ldots \}\)
\(a_n = {3 \over n^2} + 1,3\)
\(a_{n + 2} = 2a_{n+1} - a_n\), \(a_1 = 1\), \(a_2 = 0\)

Definice

Posloupnost \((a_n)\) se nazývá nerostoucí právě tehdy, když

\(\forall n, m \in D: n \lt m \Rightarrow a_n \ge a_m\)

Věta

Posloupnost \((a_n)_{n=1}^{\infty}\) je nerostoucí právě tehdy, když \(\forall n \in N \) platí \(a_{n+1} \le a_n\)
Obr. 3.3: Graf nerostoucí posloupnosti
Obr. 3.3: Graf nerostoucí posloupnosti
Příklady

\(\{1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}\)
\(a_n = {3 \over n^2} + 1,3\)
\(a_{n + 1} = a_n - 3\), \(a_1 = 1\)

Definice

Posloupnost \((a_n)\) se nazývá neklesající právě tehdy, když

\(\forall n, m \in D: n \lt m \Rightarrow a_n \le a_m\)

Věta

Posloupnost \((a_n)_{n=1}^{\infty}\) je neklesající právě tehdy, když \(\forall n \in N \) platí \(a_{n+1} \ge a_n\)
Obr. 3.4: Graf neklesající posloupnosti
Obr. 3.4: Graf neklesající posloupnosti
Příklady

\(\{0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, \ldots \}\)
\(a_n = 2^n\)
\(a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_n\), \(a_1 = 1\), \(a_2 = 1\)