Úlohy
Úloha
Zjistěte, zda je zadaná posloupnost aritmetická, a pokud ano, určete její první člen a diferenci. \(\Bigg ( {{n+3} \over {5}} \Bigg )_{n=1}^{\infty}\)
- Posloupnost je aritmetická právě tehdy, když rozdíl každých dvou sousedních členů je konstantní, tedy
\(\exists d \in \mathbb{R} \quad \forall n \in \mathbb{N}\) platí \(a_{n+1} = a_n + d\) - \(a_n = {{n + 3} \over 5}\)
\(a_{n+1} = {{n + 4} \over 5}\) - Rozdíl \(a_{n+1} - a_n\) musí být nezávislý na \(n\)
- \(a_{n+1} - a_n = {{n + 4} \over 5} - {{n + 3} \over 5} = {1 \over 5}\)
- Rozdíl každých dvou sousedních členů je \(1 \over 5\).
- Posloupnost je tedy aritmetická a \(a_1 = {4 \over 4}\), \(d = {1 \over 5}\)
Úloha
Zjistěte, zda je zadaná posloupnost aritmetická, a pokud ano, určete její první člen a diferenci. \(\Bigg ( {{n+2} \over {n+1}} \Bigg )_{n=1}^{\infty}\)
- Posloupnost je aritmetická právě tehdy, když rozdíl každých dvou sousedních členů je konstantní, tedy
\(\exists d \in \mathbb{R} \quad \forall n \in \mathbb{N}\) platí \(a_{n+1} = a_n + d\) - \(a_n = {{n+2} \over {n+1}}\), \(a_{n+1} = {{n+3} \over {n+2}}\)
- Rozdíl \(a_{n+1} - a_n\) musí být nezávislý na \(n\)
\(a_{n+1} - a_{n} = {{n+3} \over {n+2}} - {{n+2} \over {n+1}} = {{(n^2 + 4n + 3) - (n^2 + 4n + 4)} \over {(n+2)(n+1)}} = - {1 \over {(n+2)(n+1)}}\) - Rozdíl sousedních členů v této posloupnosti je závislý na \(n\), není tedy konstantní. Posloupnost není aritmetická.
Úloha
Určete reálné číslo \(x\) tak, aby čísla \(a_1 = x^2 + x\), \(a_2 = x^2 + 4x + 4\), \(a_3 = 16\) tvořila tři následující členy aritmetické posloupnosti.
- Posloupnost je aritmetická právě tehdy, když každý člen posloupnosti (kromě prvního a posledního) je aritmetickým průměrem "svých sousedů".
\(\forall n \in \mathbb{N} - \{1\}\) platí \(a_n = {{a_{n-1} + a_{n+1}} \over 2}\)
V tomto případě, pokud je druhý člen aritmetickým průměrem prvního a třetího. - \(a_2 = {{a_1 + a_3} \over 2}\)\(x^2 + 4x + 4 = {{x^2 + x + 16} \over 2}\)
- \(2x^2 + 8x + 8 = x^2 + x + 16\)
\(x^2 + 7x - 8 = 0\)
\((x - 1)(x + 8) = 0\) - \(x_1 = -8 \Rightarrow \{56, 36, 16 \}\)
\(x_2 = 1 \Rightarrow \{2, 9, 16\}\)
Úloha
Určete reálné číslo \(x\) tak, aby čísla \(a_1 = \log (2x - 1)\), \(a_2 = \log (4x - 2)\), \(a_3 = \log (5x + 2)\) tvořila tři následující členy aritmetické posloupnosti.
- Posloupnost je aritmetická právě tehdy, když každý člen posloupnosti (kromě prvního a posledního) je aritmetickým průměrem "svých sousedů".
\(\forall n \in \mathbb{N} - \{1\}\) platí \(a_n = {{a_{n-1} + a_{n+1}} \over 2}\)
V tomto případě, pokud je druhý člen aritmetickým průměrem prvního a třetího. - \(a_2 = {{a_1 + a_3} \over 2}\)\(\log (4x - 1) = {{\log (2x - 1) + \log (5x + 2)} \over {2}}\)
- \(\log (4x - 2)^2 = \log [(2x - 1)(5x + 2)]\)
\(16x^2 - 16x + 4 = 10x^2 - x - 2\)
\(6x^2 - 15x + 6 = 0\)
\((x - 2)(x - {1 \over 2}) = 0\) - \(x_1 = 2 \Rightarrow \{\log 3, \log 6, \log 12 \}\)
\(x_2 = {1 \over 2} \Rightarrow {1 \over 2}\) nepatří do definičního oboru funkcí \(\log (2x - 1)\), \(\log (4x - 2)\)
Úloha
V aritmetické posloupnosti je \(a_1 = 64\) a \(d = 4\). Kolikátý člen je roven číslu \(100\)?
- Hledáme takové \(n\), pro která platí, že \(a_n = 100\)
- Platí vztah \(a_n = a_1 + d \cdot (n - 1)\)
- \(100 = 64 + 4 \cdot (n - 1)\)
\(n = 10\)
Úloha
V aritmetické posloupnosti je \(a_1 = 5\) a \(d = 3\). Určete, kolik členů této posloupnosti musíme sečíst, aby součet byl větší než \(100\)?
- Podle vzorců ...
\(s_n = {n \over 2} (a_1 + a_n)\)\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)... musí platit ...
\({n \over 2}[a_1 + a_1 + (n - 1)d] \gt 100\) - \({n \over 2}[2 \cdot 5 + (n - 1)3] \gt 0\)\(3n^2 + 7n - 200 \gt 0\)\(n_1 \approx 7,08\), \(n_2 \approx -9,42\)
- Je třeba sečíst alespoň \(8\) členů.
Úloha
Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí \(a_1 + a_3 = 2\), \(a_2 + a_7 = -8\)
- \(a_2 = a_1 + d\)
\(a_3 = a_1 + 2d\)
\(a_7 = a_1 + 6d\) - Soustavu přepíšeme
\(a_1 + a_1 + 2d = 2\)
\(a_1 + d + a_1 + 6d = -8\) - ... vyřešením této soustavy dostaneme \(a_1 = 3\), \(d = -2\)
Úloha
Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí \(a_3 + a_5 = 8\), \(a_{3}^2 - a_{5}^2 = 32\)
- Druhou rovnici si upravíme podle vzorce ...
\(a_3 + a_5 = 8\)
\((a_3 + a_5)(a_3 - a_5) = 32\) - \(a_3 + a_5 = 8\)
\(8 \cdot (a_3 - a_5) = 32\) - \(a_3 = 6\), \(a_5 = 2\)
- \(a_3 = a_1 + 2d\)
\(a_5 = a_1 + 4d\) - \(6 = a_1 + 2d\)
\(2 = a_1 + 4d\)
\(a_1 = 10\), \(d = -2\)
Úloha
Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Obvod tohoto trojúhelníku je \(96\) cm. Vypočítejte délky stran.
- Označme si strany trojúhelníku
\(a - d\), \(a\), \(a + d\)
...potom platí
\((a - d) + a + (a + d) = 96\)
\(3a = 96\)
\(a = 32\) - V pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta:
\((a-d)^2 + a^2 = (a + d)^2\)
\(a^2 - 2ad + d^2 + a^2 = a^2 + 2ad + d^2\)
\(a^2 = 4ad\)
\(d = {a \over 4} \Rightarrow d = 8\) - Strany budou mít tedy délky
\(a - d = 24\), \(a = 32\), \(a + d = 40\)
Úloha
Řešte rovnici s neznámou \(x \in \mathbb{N}\).
\(4 + 6 + 8 + \ldots + x = 270\)
- Levou stranu rovnice tvoří součet prvních \(n\) členů aritmetické posloupnosti, pro kterou \(a_1 = 4 \wedge d = 2\)
- Víme, že platí
\(a_n = a_1 + (n - 1)d \Rightarrow x = 4 + (n - 1)2\)
\(x = 2 + 2n\) - ... dále víme, že ...
\(s_n = {n \over 2} (a_1 + a_n)\)\(270 = {n \over 2}(4 + x)\)\(270 = {n \over 2}(4 + 2 + 2n) = {n \over 2}(6 + 2n) = 3n + n^2\) - \(n^2 + 3n - 270 = 0\)\((n + 18)(n - 15) = 0\)\(n_1 = -18\) nelze
\(n_2 = 15\)
\(x = 2 + 2 \cdot 15 = 32\)
\(K = \{32\}\)
Úloha
Řešte nerovnici s neznámou \(x \in \mathbb{N}\).
\(3 + 6 + 9 + 12 + \ldots + 3x \ge 999\)
- Levou stranu rovnice tvoří součet prvních \(n\) členů aritmetické posloupnosti, pro kterou \(a_1 = 3 \wedge d = 3\)
- Víme, že ...
\(a_n = a_1 + (n - 1)d = 3 + (n - 1)3 = 3n\)
... a také, že ...
\(a_n = 3x \Rightarrow n = x\) - ... dále víme ...
\(s_n = {n \over 2} (a_1 + a_n)\)\({x \over 2} \cdot (3 + 3x) \ge 999\)\(3x + 3x^2 \ge 1998\)\(x^2 + x - 666 \ge 0\) - Vyřešíme tuto kvadratickou nerovnici ...
\(D = 2665\)
\(x_1 = 25,3\)
\(x_2 = -26,3\) nelze
\(K = \{26, 27, 28, \ldots \}\)
Úloha
Zjistěte, zda je zadaná posloupnost geometrická. Pokud ano, určete její první člen a kvocient.\(\Bigg({2^n \over {3^{n+1}}}\Bigg)_{n = 1}^{\infty}\)
- Posloupnost je geometrická právě tehdy, když podíl každých dvou sousedních členů je konstantní, tedy
\(\exists q \in \mathbb{R} \quad \forall n \in \mathbb{N}\) platí \(a_{n+1} = q \cdot a_n, a_1 \neq 0, q \neq 0\) - \(a_n = \Big({{2^n} \over {3^{n+1}}}\Big)\), \(a_{n+1} = \Big({{2^{n+1}} \over {3^{n+2}}}\Big)\)
- Podíl \({a_{n+1} \over a_{n}}\) musí být nezávislý na \(n\)
\({{a_{n+1}} \over {a_n}} = {{2^{n+1} \cdot 3^{n+1}} \over {3^{n+2} \cdot 2^n}} = {2 \over 3} = konst.\) - Posloupnost je geometrická.
\(q = {2 \over 3}\), \(a_1 = {2 \over 9}\)
Úloha
Zjistěte, zda je zadaná posloupnost geometrická. Pokud ano, určete její první člen a kvocient.\(\Bigg({{5n + 2} \over {{n+1}}}\Bigg)_{n = 1}^{\infty}\)
- Posloupnost je geometrická právě tehdy, když podíl každých dvou sousedních členů je konstantní, tedy
\(\exists q \in \mathbb{R} \quad \forall n \in \mathbb{N}\) platí \(a_{n+1} = q \cdot a_n,\, a_1 \neq 0,\, q \neq 0\) - \(a_n = {{5n + 2} \over {n + 1}}\), \(a_{n+1} = {{5(n+1) + 2} \over {n + 1 + 1}} = {{5n + 7} \over {n + 2}}\)
- \({a_{n+1} \over a_{n}} = {{(5n + 7)(n + 1)} \over {(n + 2)(5n + 2)}} \not = konst.\)
- Posloupnost není geometrická.
Úloha
Určete reálné číslo \(x\) tak, aby čísla \(a_1 = 1 + 2\log x\), \(a_2 = 3 - 4 \log x\), \(a_3 = 3 + \log x\) tvořila tři následující členy geometrické posloupnosti.
- Posloupnost je geometrická právě tehdy, když každý člen posloupnosti (kromě prvního a posledního) je geometrickým průměrem "svých sousedů".
\(\forall n \in \mathbb{N} - \{1\}\) platí \(a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n + 1}}\)
V tomto případě, pokud je druhý člen geometrickým průměrem prvního a třetího. - \(a_2 = \sqrt{a_1 \cdot a_3}\)\((3 - 4 \log x)^2 = (1 + 2 \log x)(3 + \log x)\)
- K řešení použijeme subsituci \(\log x = t\)
\((3 + t)(1 + 2t) = (3 - 4t)^2\)
\(14t^2 - 31t + 6 = 0\)
\(D = 625\)
\(t_1 = {3 \over 14} \Rightarrow \log x_1 = {3 \over 14} \quad x_1 = 10^{3 \over 14}\)\(t_2 = 2 \Rightarrow \log x_2 = 2 \quad x_2 = 10^2\) - Obě řešení jsou z definičních oborů, tedy\(K = \Bigg \{ 10^{3 \over 14}, 10^2 \Bigg \}\)
Úloha
Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí \(a_2 = 16\), \(a_4 = 1\)
- \(a_2 = a_1 q = 16\)
\(a_4 = a_1 q^3 = 1\) - \(q = {16 \over a_1}\)\(a_1 {16^3 \over {a_{1}^3}} = 1\)
- \({4096 \over a_{1}^2} = 1 \Rightarrow |a_1| = 64\)... a odtud plyne ...
\(\Bigg (a_1 = 64 \wedge q = {1 \over 4} \Bigg) \vee \Bigg ( a_1 = -64 \wedge q = -{1 \over 4} \Bigg )\) - Obě řešení jsou z definičních oborů, tedy\(K = \Bigg \{ 10^{3 \over 14}, 10^2 \Bigg \}\)
Úloha
Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí \(a_2 + a_3 = 60\), \(a_1 + a_4 = 252\)
- Rovnici sečteme ...
\(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = s_4 = 312\)
... a podle vzorce ...
\(s_n = a_1 {{q^n - 1} \over {q - 1}} \Rightarrow 312 = a_1 {{q^4 - 1} \over {q - 1}}\)\({{(q^2 - 1)(q^2 + 1)} \over {q-1}} a_1 = 312\)\((q + 1)(q^2 + 1) = {312 \over a_1}\) - K získání druhé rovnice využijeme vzorce
\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
... a dosadíme do první rovnice
\(a_1 q + a_1 q^2 = 60\)\(1 + q = {60 \over {a_1 q}}\) - Nyní máme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých ...\({60 \over {a_1 q}} (q^2 + 1) = {312 \over a_1}\)\(60q^2 - 312q + 60 = 0\)
\((q - 5)(q - 0,2) = 0\)
Řešení je tedy ...
\((a_1 = 2 \wedge q = 5) \vee (a_1 = 250 \wedge q = 0,2)\)
Úloha
V geometrické posloupnosti s prvním členem \(a_1 = 36\) určete kvocient tak, aby platilo: \(s_3 \le 252\).
- Vyjádříme si druhý a třetí člen pomocí prvního ...
\(a_2 = a_1 \cdot q = 36q\)
\(a_3 = a_1 \cdot q = 36q^2\) - ... součet bude tedy vypadat následovně ...
\(s_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 36 + 36q + 36q^2 \le 252\) - \(q^2 + q + 1 \le 7\)
\((q - 2)(q + 3) \le 0 \Rightarrow q \in \langle-3, 2\rangle\)
Úloha
Řešte rovnici s neznámou \(x \in \mathbb{N}\).
\(1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^x = 1023\)
- Od obou stran rovnice můžeme odečíst \(1\) ...
\(2 + 4 + 8 + \ldots + 2^x = 1022\)
... levou stranu této rovnice tvoří součet prvních \(x\) členů geometrické posloupnosti, kde ...
\(a_1 = 2\), \(q = 2\) - Ze znalosti vzorce ...\(s_n = a_1 {{q^n - 1} \over {q - 1}}\)... můžeme rovnici přepsat ...\(2 {{2^x - 1} \over {2 - 1}} = 1022\)
- ... vyřešíme ...
\(2^x - 1 = 511\)
\(x = 9\)
\(K = \{9\}\)
Úloha
Řešte nerovnici s neznámou \(x \in \mathbb{N}\).
\(2 + 20 + \ldots + 2 \cdot 10^x \le 10^6\)
- Od obou stran rovnice odečteme \(2\) ...
\(2\cdot 10^1 + 2\cdot 10^2 + \ldots + 2\cdot 10^x \lt 10^6 - 2\)
... levou stranu této rovnice tvoří součet prvních \(x\) členů geometrické posloupnosti, kde ...
\(a_1 = 20\), \(q = 10\) - Ze znalosti vzorce ...\(s_n = a_1 {{q^n - 1} \over {q - 1}}\)... můžeme rovnici přepsat ...\(20 {{10^x - 1} \over {10 - 1}} \lt 10^6\)
- ... vyřešíme ...
\(10^x \lt 450000,1\)
\(x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\)
Úloha
Za pět let se počet obyvatel ve městě \(X\) zvýšil o \(12\%\). Jaký byl roční přírůstek obyvatel?
- Původní počet obyvatel ... \(x\)
Počet obyvatel po pěti letech ... \(1,12x\)
Roční přírůstek obyvatel ... \(q\) - ... počet obyvatel po ...
1. roce ... \(x \cdot q\)
2. roce ... \((x \cdot q)q = x \cdot q^2\)
3. roce ... \((x \cdot q^2)q = x \cdot q^3\)
4. roce ... \((x \cdot q^3)q = x \cdot q^4\)
5. roce ... \((x \cdot q^4)q = x \cdot q^5\) - \(xq^5 = 1,12 x \Rightarrow q = \root 5\of{1,12} = 1,0229\)
Roční přírůstek obyvatel je tedy přibližně \(2,3\%\)
