\begin{align} \end{align}


Cvičení - Rozšiřování lomených výrazů, jejich součet a rozdíl

Cvičení 4.16

Rozhodni, zda je výraz ve třetím sloupci společným násobkem předchozích dvou mnohočlenů:

1. mnohočlen 2. mnohočlen Společný násobek?
a) \(4a(a + 1)\) \(2a^2(a + 1)\) \(4a^2(a + 1)\) ano \(\,\) ne \(\; \; \; \;\)
b) \(9a^3(a - 1)\) \(3a(a - 1)^2\) \(9a(a - 1)^2\) ano \(\,\) ne \(\; \; \; \;\)
c) \(a(a + 1)\) \(a^2(a - 1)\) \(a^2(a^2 - 1)\) ano \(\,\) ne \(\; \; \; \;\)
d) \(5(a^2 + 2a + 1)\) \(a(a + 1)^2\) \(5a(a + 1)^2\) ano \(\,\) ne \(\; \; \; \;\)
e) \(4(a - 2)^3\) \(16(a^2 - 4a + 4)\) \(16(a- 2)^2\) ano \(\,\) ne \(\; \; \; \;\)
f) \(a^2 - 25\) \(a - 5\) \((a - 5)^2\) ano \(\,\) ne \(\; \; \; \;\)

Cvičení 4.17

Urči společný násobek daných mnohočlenů:

a) \(25b^3(b + 1) \; \;\) a \(\; \; 15b(b^2 + 2b + 1)\)

b) \(64(b^2 - 81) \; \;\) a \(\; \; 8b(b + 9)^2\)

c) \(18(a + 3)b^3 \; \;\) a \( \; \; 4(b + 3)^2b\)

Cvičení 4.18

Urči čitatele místo otazníku tak, aby platila rovnost:

a) \(\displaystyle \frac {2x} {x - 5} = \frac {?} {5 - x}\)

\(\; \; \;\) \(2x\)
\(2 - x\)
\(-2x\)
\(\; \; \;\)

b) \(\displaystyle \frac {x - 3} {6 - x} = \frac {?} {x - 6}\)

\(\; \; \;\) \(3 - x\)
\(- 3 - x\)
\(-3 + x\)
\(\; \; \;\)

c) \(\displaystyle \frac {3 + x} {2x + 5} = \frac {?} {2x^2 + 5x}\)

\(\; \; \;\) \(3 + x^2\)
\(3x + x\)
\(3x + x^2\)
\(\; \; \;\)

d) \(\displaystyle \frac {7} {x - 1} = \frac {?} {x^2 - 1}\)

\(\; \; \;\) \(7x\)
\(7(x + 1)\)
\(7(x - 1)\)
\(\; \; \;\)

e) \(\displaystyle \frac {1} {x + 2} = \frac {?} {(x + 2)^2}\)

\(\; \; \;\) \(x + 2\)
\(x - 2\)
\(1^2\)
\(\; \; \;\)

Cvičení 4.19

Vhodným rozšířením uprav lomené výrazy tak, aby měly společného jmenovatele:

a) \(\displaystyle \frac {1} {2 - y} \;\), \(\displaystyle \; \; \frac {2} {2 + y} \; \;\) a \(\displaystyle \; \; \frac {3} {y}\)

b) \(\displaystyle \frac {2 + y} {y - 5} \;\), \(\displaystyle \; \; \frac {8} {y} \; \; \) a \(\displaystyle \; \; \frac {14 + y} {y^2 - 5y} \; \; \;\)

c) \(\displaystyle \frac {6} {y - 3} \;\), \(\displaystyle \; \; \frac {y - 3} {2y + 6}\; \;\) a \(\displaystyle \; \; \frac {1 + y} {y^2 - 9}\)

Cvičení 4.20

Rozhodni, zda pro libovolné výrazy \(V_1\), \(V_2\), \(V_3\), \(V_4\), přičemž pro všechny hodnoty proměnných je \(V_2 \neq 0\), \(V_3 \neq 0\), \(V_4 \neq 0\) a \(V_3 \neq - V_4\), platí :

a) \(\displaystyle \frac {V_1} {V_3} + \frac {V_2} {V_4} = \frac {V_1 + V_2} {V_3 + V_4}\) ano \(\,\) ne \(\; \; \; \;\)
b) \(\displaystyle \frac {V_1} {V_3} + \frac {V_2} {V_4} = \frac {V_1V_3 + V_2V_4} {V_3V_4} \; \; \; \; \;\) ano \(\,\) ne \(\; \; \; \;\)
c) \(\displaystyle \frac {V_1} {V_3} - \frac {V_2} {V_4} = \frac {V_1V_4 - V_2V_3} {V_3V_4}\) ano \(\,\) ne \(\; \; \; \;\)
d) \(\displaystyle \frac {V_1} {V_3} + V_2 = \frac {V_1 + V_2V_3} {V_3}\) ano \(\,\) ne \(\; \; \; \;\)
e) \(\displaystyle V_1 - \frac {V_2} {V_3} = \frac {V_1 - V_2} {V_3}\) ano \(\,\) ne \(\; \; \; \;\)
f) \(\displaystyle \frac {V_1} {V_3} - \frac {1} {V_2} = \frac {V_1V_2 - V_3} {V_3V_2}\) ano \(\,\) ne \(\; \; \; \;\)

Cvičení 4.21

Vypočítej:

a) \(\displaystyle \frac {u + 8} {u^2 - 2u} + \frac {4} {u} =\)

b) \(\displaystyle \frac {2u} {u + 5} + \frac {10} {u - 5} + 2 =\)

c) \(\displaystyle \frac {u - 2} {u^2 + 2u + 1} - \frac {3} {u^2 + u} =\)

d) \(\displaystyle \frac {u + v} {v} - \frac {2u - v} {u + v} =\)

e) \(\displaystyle \frac {u + v} {u} + \frac {v^2} {u^2 - uv} - \frac {u} {u - v} =\)

f) \(\displaystyle \frac {2} {u - 1} - \frac {4u} {u^2 - 1} + \frac {u - 1} {u + 1} - 1 =\)

Cvičení 4.22

Vypočítej:

a) \(\displaystyle \left(\frac {2} {x} - \frac {2} {y}\right) \div \left(\frac {4} {x} + \frac {4} {y} \right) =\)



b) \(\displaystyle \left(\frac {x} {x + 9} + \frac {1} {x + 5}\right)^2 \cdot \left(\frac {x + 3} {x^2 + 5x + 9x + 45}\right)^{-3} =\)



c) \(\displaystyle \frac {x - \Large \frac {2x \, - \, 6} {x \, + \, 2}\normalsize} {\; \; 3 + \Large \frac {x^2 \, - \, 3x} {x \, + \, 2}\; \;} =\)


d) \(\displaystyle \Large \frac {\frac {x \, + \, 1} {y \, - \, 3} - \frac {x \, - \, 1} {y \, + \, 3}} {\; \; \frac {x} {y \, - \, 3} - \frac {x} {y \, + \, 3}\; \;} =\)


Cvičení 4.23

Slovní úloha
Pavel chce zlepšit svou fyzickou kondici, proto zvažuje, že každý den uplave \(x\) km. Během týdne navštěvuje sportovní centrum, ve kterém měří bazén \(m\) metrů, zatímco o víkendu chodí plavat do aquaparku, v němž je bazén o \(n\) metrů delší. O kolik bazénů více musí Pavel uplavat ve sportovním centru než v aquaparku, aby splnil svůj limit?


Cvičení 4.24

Slovní úloha
Jedním z ukazatelů životní úrovně obyvatelstva je hrubý domací produkt (HDP) na osobu. Zjednodušeně jej můžeme vypočítat jako podíl výše HDP a velikosti populace. HDP lze přitom chápat jako celkové výdaje jednotlivých sektorů (domácností, firem, státu) na nákup finálních statků a služeb.

Předpokládejme, že v zemi A i v zemi B činí výše HDP \(p\) stejných peněžních jednotek. Populace v zemi A
čítá \(a\) osob, zatímco v zemi B žije o \(b\) obyvatel méně. Která země má vyšší životní úroveň?
O kolik vzhledem ke druhé zemi?


Cvičení 4.25 Zobrazit