\begin{align} \end{align}

Vennovy diagramy

Dříve než se pustíme do složitějších operací s množinami, seznámíme se s nástrojem, který nám umožní si mnoho poznatků jednoduše ukázat pomocí grafického znázornění. My už jsme jedno grafické znázornění používali, avšak toto znázornění má své nevýhody. Především je nepříjemné to, že toto zobrazení může vypadat různě pro různé situace v závislosti na konkrétních množinách (podívejme se na rozdíl mezi zobrazením, kdy jedna množina je podmnožinou druhé anebo když jsme zachycovali disjunktnost množin). Nyní bychom však potřebovali odvozovat obecné vztahy mezi množinami a k tomu je nutné použít schéma, kterým bude možné zachytit všechny vztahy mezi množinami. A právě to umožňují Vennovy diagramy, které představil v 19. století anglický vědec a kněz John Venn.

Vennův diagram umožňuje zaznamenat libovolný konečný počet množin tak, že rovnou zachytíme všechny přípustné možnosti rozložení prvků a můžeme tak na stejném diagramu modelovat různé situace. My budeme nejčastěji používat Vennův diagram pro dvě nebo pro tři množiny, pro velké počty množin jsou tyto diagramy již poměrně nepřehledné.

Ve Vennových diagramech se množiny zachycují jako část roviny ohraničená uzavřenou křivkou, v jednoduchých případech stačí kruh (tedy část roviny ohraničená kružnicí). Někdy se však používají i složitější tvary. Vennův diagram pro dvě množiny je vidět na následujícím obrázku:

Vennův diagram pro dvě množiny A a B
Vennův diagram pro dvě množiny \(A\) \(B\)

Dříve než si začneme ukazovat, jak na tomto diagramu vypadají jednotlivé situace a operace, bychom si měli říci, že obvykle při práci s množinami uvažujeme jen určitou skupinu prvků. Pokud např. vyjadřujeme nějaké operace s reálnými čísly pomocí množin, budeme v těchto množinách pracovat jen s reálnými čísly a prvky jako skleněný hrneček z nějaké skříňky nebo lachtan z liberecké ZOO jsou nám v takové situaci lhostejné. Obvykle tedy při konkrétní práci s množinami uvažujeme nějakou základní množinu (universum), ze které budeme prvky vybírat a množiny, s nimiž pracujeme, jsou potom jejími podmnožinami. V našem příkladu s reálnými čísly by touto základní množinou byla právě množina všech reálných čísel \(\mathbb{R}\). Nejčastěji však budeme základní množinu značit \(U\). Ve Vennově diagramu tuto množinu obvykle naznačujeme jako obdélník, uvnitř něhož jsou jednotlivé množiny – ukažme si předchozí Vennův diagram doplněný o základní množinu \(U\):

Vennův diagram pro dvě množiny A a B se základní množinou U
Vennův diagram pro dvě množiny \(A\) \(B\) se základní množinou \(U\)

Nyní, když máme zavedenu základní množinu, můžeme některé vztahy a operace mezi množinami doplnit symbolickým zápisem, abychom si ukázali použití symbolů, jako jsou kvantifikátory nebo logické spojky, i pro účely této kapitoly. První takový zápis najdeme níže u následujícího obrázku (i další tyto zápisy nalezneme u popisků obrázků). Tento obrázek ukazuje, jak Vennovým diagramem zachytit fakt, že množina je podmnožinou jiné množiny, konkrétně situaci, kdy \(B \subseteq A\):

B je podmnožinou A
\(B \subseteq A\) \(\Leftrightarrow\) [\(\forall (x \in U)\): \(\mathrm{x\in B}\Rightarrow \mathrm{x\in A}\)]

Podobně také zachytíme to, že množiny jsou disjunktní:

Disjunktní množiny
\(A \cap B\) = \(\emptyset\)

Pozor, toto grafické znázornění neříká, že množina obsahuje prázdnou množinu, ale pouze naznačuje, že daná „část množiny“ je prázdná (neobsahuje žádné prvky). Můžeme takto pomocí jediného diagramu znázornit různé situace mezi množinami.

Kdybychom chtěli naznačit, že např. do průniku množin náleží číslo 5, vyznačíme jej jako bod v patřičném kruhu:

5 náleží průniku množin A a B
5 \(\in\) (\(A \cap B\))