Matematická logika

1. Výrok (\(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}}\)) \(\wedge\) \(\mathbf{C}\) je pravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

2. Výrok (\(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}}\)) \(\vee\) (\(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}}\)) je pravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 0, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

3. Výrok \(\mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}\vee \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\Leftrightarrow \mathrm{\mathbf{B}})}\) je nepravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 0

4. Výrok \(\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}})}\vee \mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}\):

 Je tautologií.

 Není tautologií.

5. Výrok \([\mathrm{\mathbf{B}}\Leftrightarrow \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}})}] \wedge [\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\vee \mathrm{\mathbf{C}})}\Rightarrow \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{C}})}]\):

 Je tautologií.

 Není tautologií.

6. V kolika řádcích tabulky pravdivostních hodnot vyjde výrok \(\mathrm{[\mathrm{\mathbf{C}}\Rightarrow \mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}]}\Rightarrow \mathrm{[\mathrm{\mathbf{C}}\vee \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}})}]}\) pravdivý:  

7. Uvažujme implikaci: „Jestliže helium patří mezi vzácné plyny, pak rtuť je těžký kov.“ Obměněnou implikací je výrok:

 Jestliže rtuť je těžký kov, pak helium patří mezi vzácné plyny.

 Jestliže rtuť není těžký kov, pak helium nepatří mezi vzácné kovy.

 Rtuť není těžký kov a současně helium nepatří mezi vzácné kovy.

 Rtuť není těžký kov, z toho plyne, že helium nepatří mezi vzácné kovy.

8. Negací výroku \([\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{C})}] \wedge [\mathrm{(\mathrm{\mathbf{C}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}]\) je:

 \([\mathbf{B} \wedge (\mathrm{¬\mathbf{A}}\vee \mathrm{¬\mathbf{C}})] \wedge [(\mathrm{\mathbf{C}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}}) \wedge ¬\mathbf{A}]\)

 \(\mathrm{[\mathbf{B} \wedge (\mathrm{¬\mathbf{A}}\vee \mathrm{¬\mathbf{C}})]}\vee \mathrm{[(¬\mathbf{C} \wedge \mathbf{B}) \wedge ¬\mathbf{A}]}\)

 \(\mathrm{[\mathbf{B} \wedge (\mathrm{¬\mathbf{A}}\vee \mathrm{¬\mathbf{C}})]}\vee \mathrm{[(\mathrm{\mathbf{C}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}}) \wedge ¬\mathbf{A}]}\)

9. Výrok ekvivalentní s výrokem \(\mathrm{[\mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}]}\vee \mathrm{[\mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}})}\Rightarrow \mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}]}\) je:

 \(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}\)

 \(\mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}})}\vee \mathrm{\mathbf{A}}\)

 \((\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}) \wedge (\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})\)