Připomenutí a způsob zápisu
V této kapitole se budeme věnovat práci s množinami, ukážeme si, jaké s nimi lze provádět operace a také jak je můžeme využít k řešení mnoha úloh. Dále bychom si měli ukázat souvislost mezi množinovými operacemi a operacemi s výroky. Nebudeme však pojem množiny zavádět, ten by nám měl být znám již z dřívějška.
Připomeňme však přesto několik drobností, souvisejících především se značením. Předně je nutné si uvědomit, že množina je souborem prvků a také že prvkem množiny může být nejen číslo, ale naprosto cokoliv včetně dalších množin. Nezapomeňme na to, že množina nemůže obsahovat dva identické prvky, ale daný prvek buď obsahuje (je jejím prvkem) nebo neobsahuje. Pro značení množin budeme používat velká písmena. Na těchto stránkách však i přesto snadno odlišíme výrok od množiny označené stejným písmenem (např. A) – množinu označíme \(A\), zatímco výrok \(\mathbf{A}\).
Už v minulé kapitole jsme také použili značení pro některé speciální množiny. Je to především množina všech přirozených čísel \(\mathbb{N}\), celých čísel \(\mathbb{Z}\), racionálních čísel \(\mathbb{Q}\) a reálných čísel \(\mathbb{R}\).
Chceme-li zapsat, že nějaký prvek \(x\) patří do množiny \(M\), využijeme značku \(\in\) a zapíšeme tento fakt jako \(x \in M\). Pokud naopak nějaký prvek \(y\) do množiny \(M\) nenáleží, můžeme použít zápis „\(y \)\(\notin\) \(M\)“.
Často se také používá grafické znázornění množin, které umožňuje objasnění některých vztahů a pojmů. Obvykle množinu znázorňujeme jako kruh (buď vybarvíme celou jeho plochu nebo ho jen naznačíme zakreslením kružnice, která ho ohraničuje). To, že množiny mají některé prvky společné, zakreslíme tak, že se množiny patřičným způsobem překrývají. Pokud chceme naznačit, že nějaký prvek patří do dané množiny, zakreslíme ho jako bod uvnitř kruhu (viz následující obrázky), atd.
 |
 |
| \(x\) \(\in\) \(M\) | \(x\) \(\notin\) \(M\) |
Chceme-li zapsat informaci o tom, jaké prvky množina obsahuje, můžeme použít výčet nebo zápis pomocí charakteristické vlastnosti. Má-li být množina \(M\) množinou přirozených čísel od jedné do pěti, zapis pomocí výčtu bude \(M = \{1, 2, 3, 4, 5\}\). Množina \(H\), která obsahuje všechna reálná čísla větší než pět, může být pomocí charakteristické vlastnosti zadána: \(H\) = \(\{x \)\(\in\) \(\mathbb{R}\); \(x > 5 \}\).
Někdy je vhodné umět zapsat počet prvků v dané množině (neboli mohutnost množiny). Některé mohou obsahovat i nekonečně mnoho prvků. Jak tedy zapíšeme, že např. množina \(M\) obsahuje pět prvků (neboli má mohutnost 5)? Učiníme tak pomocí dvou svislých čar: \(|M| = 5\).
Prázdná množina neobsahuje žádný prvek (má mohutnost 0), sama však může být prvkem nějaké jiné množiny. Pozor – množina obsahující prázdnou množinu není prázdná! Pro práznou množinu se používají dva zápisy – buď \(\{\}\) nebo \(\emptyset\).
