Obecný kvantifikátor
Začněme s obecným kvantifikátorem. Jeho značka je \(\forall\), čteme jej jako „pro každé…“. Pomocí tohoto kvantifikátoru bychom z tvrzení „\(x < 5, x \in \mathbb{R}\)“ mohli vytvořit výrok, který říká:
„Pro každé reálné číslo \(x\) platí, že \(x < 5\).“
Pomocí značky kvantifikátoru lze výrok zapsat takto (kvantifikátor píšeme před výrokový vzorec, do závorky k němu uvádíme proměnnou, jíž se týká – tj. kterou tzv. váže):
\(\forall (x \in \mathbb{R})\): \(x < 5\)
Tentokrát se již skutečně jedná o výrok, který je nepravdivý (existují i reálná čísla větší než 5 a také číslo 5 je reálné číslo). Výrok by byl pravdivý pouze v případě, kdy by uváděná vlastnost (tedy být menší než pět) platila pro každé reálné číslo. Pokud existuje alespoň jedno reálné číslo, které danou vlastnost nesplňuje, pak je výrok nepravdivý (a zde je takových čísel dokonce nekonečně mnoho). Pokud se odtrhneme od našeho příkladu a zobecníme vše, co jsme si o obecném kvantifikátoru řekli, získáme definici pravdivosti výroku s obecným kvantifikátorem:
Definice
Obsahuje-li výrok proměnnou vázanou obecným kvantifikátorem, je pravdivý, pouze platí-li následující: Pokud za zmíněnou proměnnou do výrokového vzorce (vzniklého z výroku odebráním kvantifikátoru) dosadíme libovolnou hodnotu, jíž může tato proměnná nabývat, získáme vždy pravdivý výrok.
Neboli obráceně: Pokud existuje alespoň jedna přípustná hodnota vázané proměnné (přípustnou hodnotou se myslí hodnota z vhodné množiny – v našem příkladě z množiny reálných čísel), po jejímž dosazení do výrokového vzorce vznikne nepravdivý výrok, je i celý výrok s kvantifikátorem nepravdivý. V našem příkladu tedy stačí najít jediné reálné číslo, pro nějž vznikne nepravdivý výrok. Budeme-li uvažovat např. číslo 8, pak získáme výrok „\(8 < 5\)“. A ten je jistě nepravdivý, tedy i celý výrok s kvantifikátorem je nepravdivý, což jsme zjistili již dříve pomocí „selského rozumu“.
Pokud stále není obecný kvantifikátor jasný, není důvod k panice, o několik odstavců níže si ukážeme ještě některé příklady. Nejdříve se však podívejme na druhý z kvantifikátorů.
