\begin{align} \end{align}

Implikace

Dostáváme se ke spojce, jejíž pochopení může být náročnější. Nemá totiž jasný vzor v běžném jazyce. K prostému spojení dvou vět pomocí této spojky se používá sousloví „z toho plyne“. Avšak mnohem častěji se implikace do běžné řeči „překládá“ jako vazba „jestliže – pak“. Z toho by mohlo být vidět, že jsme se dostali k první spojce, u níž záleží na pořadí výroků. U konjunkce i disjunkce bylo jedno, zda jsme psali nejdříve první výrok a potom druhý nebo naopak. Spojením jsme získali výrok stejného významu i pravdivostního ohodnocení. Implikace se chová jinak, při změně pořadí výroků se změní nejen význam výsledného výroku, ale často i jeho pravdivostní ohodnocení. Zkusme si opět spojit dva výroky:

  1. „V Berouně prší.“
  2. „Hladina Berounky v Berouně stoupá.“

Teď je v uvedeném pořadí spojíme – zkusíme to oběma způsoby, které jsme si ukázali:

„V Berouně prší, z toho plyne, že hladina Berounky v Berouně stoupá.“

„Jestliže v Berouně prší, pak hladina Berounky v Berouně stoupá.“

Obě věty by se jistě daly ještě upravit, aby zněly o něco lépe, ale to není účelem našeho zkoumání. U spojení těchto výroků se zdá být lepší druhý způsob spojení, ale mohou nastat situace, kdy tomu bude naopak. Podívejme se, co se stane, prohodíme-li pořadí výroků:

„Jestliže hladina Berounky v Berouně stoupá, pak v Berouně prší.“

Věta získala zcela jiný význam. Zatímco původní věta říkala, že když prší, stoupne hladina vody, ta druhá nám tvrdí, že když stoupne voda, musí nutně v Berouně pršet (a to rozhodně nemusí být pravda). U implikací tedy musíme dbát na pořadí spojovaných výroků. A jak je to s pravdivostním ohodnocením implikace?

Definice

Implikace je pravdivá pravě tehdy, když jsou oba spojované výroky pravdivé nebo když je první výrok nepravdivý.

Neboli: Implikace není pravdivá jen v případě, že první výrok je pravdivý a zároveň druhý je nepravdivý.

Pro zachycení těchto informací pomocí tabulky pravdivostních hodnot opět potřebujeme značení. Ke spojení výroků \(\mathbf{A}\) a \(\mathbf{B}\) pomocí implikace se používá zvláštní dvojitá šipka: \(\mathbf{A} \Rightarrow \mathbf{B}\).

Takový zápis můžeme číst mnoha způsoby:

  1. „Výrok A implikuje výrok B.“
  2. „Výrok B plyne z výroku A.“
  3. „Z výroku A plyne výrok B.“
  4. „Jestliže platí výrok A, pak platí výrok B.“
  5. „Jestliže A, pak B.“

Tabulka pravdivostních hodnot implikace

\(\mathbf{A}\) \(\mathbf{B}\) \(\mathbf{A} \Rightarrow \mathbf{B}\)
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Implikace je velmi často používaným výrokem v celé matematice, mnohdy totiž potřebujeme vyjádřit, že nějaký fakt plyne z jiného. Její pochopení je proto velmi důležité.