Limita a spojitost

Rozhodněte, zda je funkce spojitá v bodě \(x\) = 0:

1. \(f: y = x + 1\)
2. \(f: y = x^2 - x + 1\)
3. \(f: y = \frac {x} {x + 1}\)
4. \(f: y = \mathrm{log} x\)
5. \(f: y = e^{2x}\)
6. \(f: y = \sin (x+1)\)
7. \(f: y = \mathrm{tg} x\)

• 1. ano
  2. ano
  3. ano
  4. ne, funkce \(\mathrm{log}\) má definiční obor \((0,\, \infty)\)
  5. ano
  6. ano
  7. ano

Rozhodněte, zda je funkce spojitá v daném bodě:

1. \(f: y = \frac {x^2 + 1} {x - 1}\) v bodě \(x = 1\)
2. \(f: y = \sin (x - \frac {\pi}{2})\) v bodě \(x = \frac {\pi}{2}\)
3. \(f: y = \mathrm{tg} (x - \frac {\pi}{2})\) v bodě \(x = \pi\)
4. \(f: y = \sqrt {x - 1}\) v bodě \(x = 1\)
5. \(f: y = \frac {x - 1} {x^2 + 1}\) v bodě \(x = -1\)

• 1. ne, bod 1 nepatří do definičního oboru funkce
  2. ano
  3. ne, bod \(\pi\) nepatří do definičního oboru funkce
  4. ne, funkce je v bodě 1 pouze spojitá zprava
  5. ano

Dokažte, že rovnice \(x^3 + x - 3 = 0\) má kořen na intervalu \((1,\,2)\).

• Funkce \(f: y = x^3 + x - 3\,\,\) je spojitá na intervalu \((1,\,2)\) a platí \(f(1) = -1\) a \(f(2) = 7\).
• Jsou tedy splněny předpoklady věty a existuje alespoň jeden kořen v intervalu \((1,\,2)\).