Limita a spojitost

Určete limitu \(\lim_{x \to 3} x^2.\)

• Protože funkce \(y = x^2\) je spojitá v bodě \(3\), můžeme přímo dosadit a určit limitu díky vztahu mezi limitou a spojitostí.
• \(\lim_{x \to 3} x^2 = 3^2 = 9\)

Určete limitu \(\lim_{x \to 2} x^2 + x - 1.\)

• Použijeme větu o limitě součtu a protože funkce \(y = x^2 \) a \(y = x - 1 \) jsou spojité v bodě \(2\), můžeme počítat takto:
• \(\lim_{x \to 2} x^2 + x - 1 = \lim_{x \to 2} x^2 + \lim_{x \to 2} x - 1 = 2^2 + 1 = 5\)

Určete limitu \(\lim_{x \to -1} (x - 1)(x + 3).\)

• Použijeme větu o limitě součinu a využijeme spojitosti.
• \(\lim_{x \to -1} (x - 1)(x + 3) = \lim_{x \to -1} (x - 1) \lim_{x \to -1} (x + 3) = (-2)2 = -4\)

Určete limitu \(\lim_{x \to 4} \frac {x - 2} {x + 4}.\)

• Použijeme větu o limitě podílu a využijeme spojitosti.
• \(\lim_{x \to 4} \frac {x - 2} {x + 4} = \frac {\lim_{x \to 4} x - 2} {\lim_{x \to 4} x + 4} = \frac {2} {8} = \frac {1}{4}\)

Určete limitu \(\lim_{x \to 1} \frac {(x - 1)(x - 3)}{x + 4}.\)

• Použijeme větu o limitě součinu a podílu a využijeme spojitosti.
• \(\lim_{x \to 1} \frac {(x - 1)(x - 3)}{x + 4} = \frac {\lim_{x \to 1} (x - 1) \cdot \lim_{x \to 1} (x - 3)} {\lim_{x \to 1} x + 4} = \frac {0 \cdot (-2)}{5} = 0\)

Určete limitu \(\lim_{x \to 0} \frac {x}{x}.\)

• Nemůžeme použít větu o limitě podílu, neboť bychom získali neurčitý výraz \(\frac {0}{0}\). Můžeme ale provést následující úpravu: \(f(x) = \frac {x}{x} = \frac {1}{1} = 1 = g(x)\). Máme tedy funkci \(f(x) = \frac {x}{x}\) s definičním oborem \(\mathrm{D}_f = \{\mathbb{R} \setminus {0}\}\) a \(g(x) = 1\) s definičním oborem \(\mathrm{D}_g = \mathbb{R}\).
• Funkce \(g\) je spojitá v \(0\) a navíc jsou splněny předpoklady věty o dvou funkcích \(f(x) = g(x)\) na \(\{\mathbb{R} \setminus {0}\}\), takže platí
• \(\lim_{x \to 0} \frac {x}{x} = \lim_{x \to 0} 1 = 1\)

Určete limitu \(\lim_{x \to +\infty} x^2 + 1.\)

• Pro \(x\) jdoucí k \(+ \infty\) se funkční hodnoty také blíží k \(+\infty\). Je tedy
• \(\lim_{x \to +\infty} x^2 + 1 = + \infty\)

Určete limitu \(\lim_{x \to +\infty} x^2 - x + 1.\)

• Úvahu z předchozího příkladu nemůžeme použít, získali bychom totiž výraz \(+ \infty - \infty\). Upravíme tedy výraz následujícím způsobem:
• \(\lim_{x \to +\infty} x^2 - x + 1 = \lim_{x \to +\infty} x^{2}(1 - \frac {1}{x} + \frac{1}{x^2}) = \lim_{x \to +\infty} x^{2}\cdot \lim_{x \to + \infty} (1 - \frac{1}{x} + \frac {1}{x^2}) = \)
• Nyní můžeme použít větu o limitě součtu a součinu a dostáváme tak:
• \(= \lim_{x \to +\infty} x^{2}\cdot(\lim_{x \to +\infty} 1 - \lim_{x \to + \infty} \frac {1}{x} + \lim_{x \to + \infty} \frac {1}{x^2}) = +\infty\cdot(1 - 0 + 0) = + \infty\)

Určete limitu \(\lim_{x \to +\infty} \frac {x^2 + 1}{x + 1}.\)

• Nemůžeme použít větu o limitě podílu, neboť bychom získali neurčitý výraz \(\frac {+ \infty}{+ \infty}\). Můžeme ale použít podobnou úpravu jako v předchozím příkladu.
• \(\lim_{x \to +\infty} {{x^2 + 1} \over {x + 1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac {x^2}{x}\cdot \frac {(1 + \frac {1}{x^2})}{(1 + \frac{1}{x})} = \lim_{x \to +\infty} \frac {x^2}{x}\cdot \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}} = \)
• Limitu se zlomkem určíme pomocí věty o limitě součinu a podílu
• \(= \lim_{x \to +\infty} x \cdot \frac {\lim_{x \to +\infty} 1 + \frac {1}{x^2}}{\lim_{x \to +\infty} 1 + \frac {1}{x}} = +\infty\cdot\frac{1 + 0} {1 + 0} = +\infty\)