Důkazy pravidel derivování IV
V této podkapilole dokážeme pravidla pro derivování následujících elementárních funkcí:
- \(y = \ln{x}\);
- \(y = x^a\), kde \(a \in \mathbb R\);
- \(y = \log_a x\), kde \(a \in \mathbb R^{+}\setminus \{1\}\).
Dále dokážeme pravidlo pro derivaci funkce \(u\) pomocí derivace její inverzní funkce \(u^{-1}\):
- \(u^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{1}{(u^{-1})^{\prime}(u(x))}\).
Derivace funkce pomocí derivace inverzní funkce
Definice
Inverzní funkce k prosté funkci \(u\) je funkce označená jako \(u^{-1}\), pro kterou platí:
- \(D(u^{-1})=H(u)\) a zároveň
- každému \(y \in D(u^{-1})\) je přiřazeno právě to \(x \in D(u)\), pro které je \(u(x) = y\).
Věta
Nechť funkce \(u\) je monotónní a spojitá a nechť derivace \((u^{-1})^{\prime}(u(x))\) existuje a je různá od nuly.
Potom platí
\(u^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{1}{(u^{-1})^{\prime}(u(x))}\).
Důkaz
Bez důkazu budeme vycházet z předpokladu, že \(u^{\prime}(x)\) existuje.
Dále využijeme skutečnost, že \(u^{-1}(u(x)) = x\) pro všecha \(x \in D(u)\).
Derivace logaritmické funkce se základem e
Pro funkci \(f : y = \ln{x}\), \(x \in \mathbb R^{+}\), platí \(y^{\prime} = \Large\frac{1}{x}\).
Derivace mocninné funkce s obecným exponentem
Pro funkci \(f : y = x^a\), \(x \in \mathbb R^{+}\), \(a \in \mathbb R\), platí \(y^{\prime} = \large ax^{a-1}\).
Exponent není označen písmenem \(n\), protože písmeno \(n\) je vyhrazeno pro přirozená a celá čísla.
Důkaz
Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci složené funkce a vztah
\(x^a = e^{a\ln{x}}\).
Derivace logaritmické funkce s obecným základem
Pro funkci \(f : y = \log_a x\), \(x \in \mathbb R^{+}\), \(a \in \mathbb R^{+}\setminus \{1\}\), platí \(y^{\prime} = \Large\frac{1}{x\ln a}\).