Zadání lineární funkce

Lineární funkce může být zadána

  • předpisem

    \(f:y=3x+2\)

  • dvěma různými body

    Jsou dány body \(A=[1;5]\), \(B=[-1;-1]\). Na souřadnice těchto bodů můžeme nahlížet jako na dvě uspořádané dvojice \([x_1;f(x_1)]\) a \([x_2;f(x_2)]\).

    Souřadnice \(x\), \(y\) každého z bodů musí vyhovovat rovnici \(f:y=ax+b\). Napíšeme si tedy dvě rovnice, kde za \(x\) a \(y\) dosadíme souřadnice bodů \(A\) a \(B\), čímž dostaneme soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé \(a\), \(b\).

    \(5=\ \ 1\cdot a+b\)

    \(1=-1\cdot a+b\)

    Po vyřešení získáme pro \(a\), \(b\) tyto hodnoty

    \(a=3\)

    \(b=2\)

    a předpis lineární funkce má tvar

    \(f:y=3x+2\).


  • grafem

    Přímka

    Jak víme z předchozího textu, koeficient \(b\) zjistíme tak, že určíme \(y\)-ovou souřadnici průsečíku grafu lineární funkce s osou \(y\).

    \(b=3\)

    Koeficient \(a\) můžeme snadno určit tak, že určíme průsečíky grafu lineární funkce s osou \(x\) a s osou \(y\). Pak \(x\)-ovou souřadnici průsečíku grafu funkce s osou \(x\) označíme \(x_0\) a \(y\)-ovou souřadnici průsečiku s osou \(y\) označime \(y_0\).

    \(x_0=2\)

    \(y_0=3\)

    Absolutní hodnota koeficientu \(a\) se vypočte

    \(|a|=\left|{y_0\over x_0}\right|=\left|{3\over 2}\right|=1{,}5\).

    Znaménko určíme podle toho, je-li funkce rostouci (znaménko +) anebo klesající (znaménko -).

    Předpis lineární funkce má tvar

    \(f:y=-1,5x+3\).

    Tento postup ovšem selže v případě, že graf lineární funkce prochází počátkem. Pak budeme postupovat tak, že z libovolného bodu na grafu funkce vedeme úsečku o určité délce (na obrázku je volena délka 1) rovnoběžnou s osou \(x\). Z konce této úsečky vedeme další úsečku rovnoběžně s osou \(y\) tak, aby její konec byl opět na grafu funkce.

    Lineární funkce

    Z podílu délky úsečky rovnoběžné s osou \(y\) ku délce úsečky rovnoběžné s osou \(x\) získáme absolutní hodnotu koeficientu \(a\) (z obrázku \(2:1=2\)). Podle toho jestli je funkce rostoucí nebo klesající určíme znaménko koeficientu \(a\). Předpis funkce je

    \(f:y=2x\).