Funkce periodická

Periodickou funkci poznáme z grafu funkce. Jestliže je celý graf určen jen částí, která se neustále opakuje, pak je to graf periodické funkce.

Definice

Funkce \(f\) je periodická, právě když existuje takové reálné číslo \(T > 0\) ,že pro funkci \(f\) platí:

  • Pro všechna \(x\) z definičního oboru leží v definičním oboru i \(x+T\) a zároveň
  • pro všechna \(x\) z definičního oboru platí \(f(x)=f(x+T)\).
Číslo \(T\) se nazývá periodou funkce.

Poznámka

Pokud se jedná o periodickou funkci, pak takových čísel \(T\), která splňují uvedenou podmínku, existuje nekonečně mnoho, ale obvykle periodou rozumíme takové nejmenší kladné číslo (pokud nejmenší existuje), tzv. základní periodu.

Příklady

  1.  
    Pro lepší představu pojmu periodická funkce nám opět poslouží applety - pokuste se přesunout černý obdélník, tak aby se graf funkce nakreslené v obdélníku shodoval s grafem funkce, který je nakreslen čárkovaně. Kolikrát se vám to povede?
    Funkce \(y=\sin x\) je příkladem periodické funkce, u které je perioda \(T=2\pi\).
  2.  
    Konstatní funkce
    Funkci \(y=1{,}5\) můžeme považovat za funkci periodickou, ale nejmenší číslo \(T\) zde nemůžeme určit.