Mocninné funkce s reálným exponentem různým od nuly
Jak víme, reálná čísla obsahují čísla racionální a čísla iracionální. Mocninné funkce s racionálním exponentem jsme probrali v minulém odstavci. V tomto odstavci se tedy budeme věnovat mocninným funkcím s iracionálním exponentem.
Je nad rámec této práce zabývat se podrobně tím, co to jsou iracionální čísla. Pro naše účely postačí konstatování, že iracionální číslo nelze zapsat jako zlomek (\(\frac{p}{q}\), kde \(p\in\mathbb Z\), \(q\in\mathbb N\)). Pro mocninné funkce, které mají v exponentu iracionální číslo, tedy nelze použít vzorec pro odmocninu. Již v minulé kapitole jsme se však zmínili, jak (za pomoci čísla \(e\) a přirozeného logaritmu) vypočítat obecnou mocninu.
Pro \(x\in(0;\infty)\) a \(r\in\mathbb R\) platí:
\(x^r=e^{r\ln x}\)
Zde je na první pohled zřejmé, proč je obecná mocnina omezena jen na kladná čísla. Jak víme z předchozí kapitoly, definiční obor funkce logaritmus (v tomto případě přirozený) je omezen na kladná čísla a v tomto vzorci se vyskytuje přirozený logaritmus argumentu \(x\). Pro mocniny s iracionálním exponentem platí stejná pravidla jako pro mocniny s racionálním exponentem.
