Funkce exponenciální

V kapitole o kvadratických funkcích jsme se setkali s typem funkcí, kde argument funkce \(x\) byl mocněnec a mocnitelem bylo číslo 2, \(f:y=x^2\). U exponenciálních funkcí je argument jako mocnitel, mocněnec je v tomto případě kladné číslo různé od 1 označované \(a\).

Definice

Exponenciální funkce o základu \(a\) je každá funkce \(f\) na množině \(\mathbb R\) vyjádřená ve tvaru

\(f:y=a^x\),

kde \(a\) je kladné číslo různé od 1.

Poznámka

V případě, že \(a=1\), pak by se nejednalo o exponenciální, ale o konstantní funkci.

V následujícím appletu je možné ověřit vliv základu \(a\) na výsledný graf exponenciální funkce. Budete-li pohybovat posuvníkem, pak uvidíte rovnici dané funkce a zároveň i její graf. Po kliknutí na zoufalého smajlíka se zobrazí, jaký vliv má základ \(a\).

Vliv základu \(a\) Zobrazit řešení

Poznámka

Všimněte si, že graf funkce prochází bodem o souřadnicích \([1;a]\), resp. \([-1;\frac{1}{a}]\).

Poznámka

Kdybychom si v průsečíku grafu exponenciální funkce s osou \(y\) představili jeho tečnu pak, podobně jako u kvadratické funkce, se na tuto tečnu můžeme dívat jako na další funkci např. \(g\). Rovnice této funkce je \(g:y=\ln a\cdot x+1\) (kde \(\ln\) je přirozený logaritmus a dozvíme se o něm v následujícím odstavci).

Poznámka

Určité výlučné postavení mezi základy má číslo \(e\) nazývané Eulerovo číslo. Jeho přibližná hodnota je

\(e\ \dot{=}\ 2{,}718\ 281\ 828\).

Exponenciální funkce, jejímž základem je číslo \(e\), se nazývá přirozená exponenciální funkce. Jedinečnou vlastností exponenciální funkce se základem \(e\) je, že rovnice tečny grafu v průsečíku s osou \(y\) je \(g:y=x+1\).

Exponenciální funkce

Podle toho, jaká je tečna grafu v průsečíku s osou \(y\) v porovnání s přímkou \(y=x+1\), můžeme odhadnout, jestli základ této exponenciální funkce bude menší, anebo větší než číslo \(e\).

Mohli bychom se také zajímat o to, pro jakou hodnotu základu by tečna měla rovnici \(g:y=-x+1\). Tento základ je převrácená hodnota Eulerova čísla a jeho přibližná hodnota je

\(\frac{1}{e}\ \dot{=}\ 0,367\ 879\ 441\).