Matematická analýza I pro učitele - program ZS 2010/11:

(I) Úvod: elementy matematické logiky a teorie množin
(II) Číselné obory, suprémum
(III) Posloupnosti
(IV) Funkce
(V) Derivace a aplikace derivací


Požadavky ke zkoušce
Vzorová písemka

Obsah přednášek:

30.9. Základy výrokové a predikátové logiky: tabulky spojek, kvantifikátory, negování formulí s kvantifikátory, význam pořadí kvanifikátorů. Základní množinové relace a operátory vč. nekonečného sjednocení a průniku, de Morganova pravidla.
5.10. Podrobný důkaz jednoho z de Morganových vztahů pro (obecně) nekonečné průniky/sjednocení. Zobrazení, definiční obor, obor hodnot, vzor a obraz množiny (vztah k sjednocení/průniku množin), restrikce zobrazení na množinu. Zobrazení prosté, na, bijekce. Inverzní a složené zobrazení. Vysloven princip indukce.
7.10. Základní vlastnosti relací (reflexivita, symetrie atd.), odtud def. uspořádání a relace ekvivalence. Zmínka o konstrukci číselných oborů "z ničeho" v teorii množin (von Neumannův model přiroz. čísel, pak operace a ekvivalence definující celá a racionální čísla, R zúplněním pomocí Dedekindových řezů). Horní/dolní odhad, omezené množiny, max/min, suprémum/infimum. Reálná čísla zavedena "algebraicky", tj. R je komutativní těleso s uspořádáním <=, ve kterém platí axiom úplnosti (věta o suprému). N, Z, Q jako podmnožiny R. Odmocnina ze 2 je iracionální.
12.10. Intervaly, absolutní hodnota, trojúhelníková nerovnost. Množiny konečné a spočetná, spočetnost Z a Q. Důkaz nespočetnosti R Cantorovou diagonální metodou. Definice posloupnosti.
14.10. Posloupnosti: omezenost, monotonie, limita (konvergence/divergence posloupnosti). Důkaz jednoznačnosti limity, konvergentní posloupnost je omezená, monotónní omezená posloupnost je konvergentní. Příklad omezené, která nekonverguje, příklad na výpočet limity z definice. Věta o limitě součtu, součinu a podílu (zatím pro vlastní limity). Funkce signum.
19.10. Rozšíření R o nekonečna, nevlastní limity. Odhady, věta o suprému v R*. Každá monotónní posloupnost má v R* limitu. Případ posloupnosti {q^n}. Věta o limitě v nerovnostech ("o policajtech"). Aritmetika nekonečen, "neurčité výrazy". Příklady.
21.10. Věta o limitě součtu, součinu a podílu v R*. Tvrzení o "dělení nulou". Existence n-té odmocniny (zatím bez důkazu). Definice a základní vlastnosti čísla e. Cantorův princip vložených intervalů, vybraná posloupnost, Weierstrassova věta.
26.10. Bolzanova-Cauchyho podmínka pro posloupnosti, ekvivalence s konvergencí. Jako příklad divergence harmonické řady. Součin omezené posloupnosti a posloupnosti s limitou 0 jde k 0. Hromadný bod posloupnosti. Posloupnost má limitu, právě když má jediný hromadný bod. Funkce: opakování základních pojmů, charakteristická funkce množiny, Dirichletova funkce.
2.11. Monotonie funkce (na intervalu), omezenost, periodicita. Příklady. Funkce spojitá v bodě a na otevřeném intervalu. Funkce spojitá v bodě je na nějakém jeho okolí omezená. Heineho věta. Riemannova funkce. Věta o spojitosti součtu, součinu a podílu funkcí.
4.11. Věta o spojitosti složené funkce. Jednostranná spojitost, spojitost na intervalu s krajními body. Spojitá funkce na omezeném uzavřeném intervalu nabývá minima a maxima. Darbouxova vlastnost, věty o nabývání mezihodnot. Příklad sin(1/x). Spojitý obraz intervalu je interval nebo jednobodová množina.
9.11. Spojitá funkce je na intervalu prostá, právě když je ryze monotónní. Věta o spojitosti inverzní funkce, aplikace na k-tou odmocninu. Limita funkce, prstencová okolí bodů vč. nekonečna. Příklady. Funkce je spojitá v bodě, právě když limita je rovna funční hodnotě. Heineho věta.
11.11. Věta o aritmetice limit, věta o policajtech. Bolzano-Cauchyho podmínka pro funkce. Věta o limitě složené funkce (při použití je nutné ověřit předpoklady a zapsat to). Příklad, kdy předpoklady věty neplatí a výpočet nefunguje. Jednostranné limity. Příklady na výpočet limit.
16.11. Součin omezené funkce a funkce s limitou 0 má limitu 0. Exponenciála, přirozený logaritmus a jejich základní vlastnosti. Obecná exponenciální funkce, obecná mocnina, obecný logaritmus. Zavedení funkcí sin a cos.
18.11. Základní vlastnosti sinu a kosinu. Tangens, kotangens. Cyklometrické funkce. "Význačné limity", příklady.
23.11. Hyperbolické funkce. Příklady na limity. Derivace: definice, vlastní, nevlastní derivace, jednostranné derivace. Funkce s vlastní derivací v x je v tomto bodě spojitá (existence derivace nestačí). Věta o derivaci součtu, součinu a podílu.
25.11. Carathéodoryho charakteristika vlastní derivace. Věta o derivaci složené funkce a o derivaci inverzní funkce. Aplikace vět při výpočtech "tabulkových" derivací: exp, ln, sin, cos, tg, obecné mocniny a exponenciální funkce, arcsin, arctg, sinh, cosh.
30.11. Tečna ke grafu funkce. Rolleova a Lagrangeova věta o střední hodnotě. Věta o limitním přechodu k derivaci v krajním bodě intervalu. Příklady.
2.12. Příklad funkce s vlastní leč nespojitou derivací. Vztahy mezi znaménkem derivace a monotonií na intervalu, zmínka o monotonii v bodě. Lokální extrémy; derivace v bodě lokálního extrému buď neexistuje, nebo je nulová. Derivace vyšších řádů, Leibnizova formule. Konkávní a konvexní funkce.
7.12. Charakteristiky konvexity: sečna nad grafem, vztahy mezi směrnicemi sečen. Monotónní omezená funkce je na intervalu spojitá až na spočetnou množinu. Konvexní funkce je na otevřeném intervalu spojitá a má derivaci všude až na spočetnou množinu (kraje intervalu mohou být body nespojitosti).
9.12. Vztah konvexity, monotonie první a znaménka druhé derivace. Věta o znaménku druhé derivace v bodech lokálních extrémů. Inflexní body; existuje-li v inflexním bodě druhá derivace, je nulová. Asymptoty: definice, výpočet. Příklady: extrémy, průběh funkce.
14.12. Tvrzení o souvislosti kovnexity/konkávnosti a první a druhé derivace - případ ryzí konvexity/konkávnosti. Vyšetřování průběhu funkce - obecný postup. Příklady: extrémy, průběh funkce.
16.12. Příklad na průběh funkce: inflexní body. Cauchyho věta o střední hodnotě, l'Hospitalovo pravidlo (při aplikaci je nutné ověřit předpoklady), příklady použití.
21.12. Taylorovy polynomy: definice, jednoznačnost, zbytek. Věta o Lagrangeově tvaru zbytku. Rozvoje funkcí exp, sin a cos. Zmínka o Lagrangeových interpolačních polynomech.
4.1. Taylorova věta o zbytku, odvozen Lagrangeův a Cauchyho tvar zbytku. Taylorovy polynomy funkcí ln(1+x) a (1+x)^p (se středem v 0). V některých(!) bodech je funkce součtem své Taylorovy řady. Symboly "O", "o": definice, příklady. Má-li funkce spojitou n-tou derivaci, je zbytek po n-tém členu Taylorova rozvoje o((x-x_0)^n).
6.1. Počítání se symbolem "o": aritmetická pravidla, aplikace na výpočet limit, příklady. Výpočet iracionálního čísla s danou přesností. Důkaz věty o zavedení exponenciály (část).
11.1. Důkaz věty o zavedení exponenciály (dokončení). Výpočty přibližných hodnot.
13.1. Příklady: průběh funkce, Taylorovy polynovy, limita funkce.

Literatura:
J. Veselý: Matematická analýza pro učitele I - novější rozšířená (leč těžko dostupná) verze: Základy matematické analýzy I
J. Kopáček: Matematika pro fyziky, Příklady z matematiky pro fyziky
V. Jarník: Diferenciální počet I
I. Černý: Úvod do inteligentního kalkulu