Matematická analýza I pro učitele - program LS 2010/11:

(VI) Primitivní funkce
(VII) Riemannův a Newtonův integrál
(VIII) Diferenciální rovnice
(IX) Funkce více proměnných


Požadavky ke zkoušce
Vzorová písemka

Obsah přednášek:

21.2. Definice primitivní funkce, integrační konstanta. Integrace "per partes". "Tabulkové integrály". Každá primitivní funkce je spojitá. Příklad nespojité funkce, která má primitivní funkci, a funkce, která primitivní funkci nemá.
23.2. Každá spojitá funkce má primitivní funkci - nástin důkazu, tj. vztahu "obsahu plochy pod grafem" k primitivní funkci. 1. a 2. substituční metoda, příklady.
28.2. Integrace racionálních funkcí.
2.3. Význačné substituce: e^x, ln x, (ax + b / cx + d)^1/n, Eulerovy substituce. Lepení - motivace.
7.3. Eulerovy substituce, goniometrické substituce, lepení.
9.3. Riemannův integrál: motivace, dělení intervalu, zjemnění, horní a dolní součty a vztahy mezi nimi. (Horní, dolní) Riemannův integrál. Příklad omezené funkce, která Riemannův integrál nemá. Charakteristika riemannovsky integrovatelných funkcí: existují dělení s libovolně malým rozdílem horních a dolních součtů.
14.3. Monotónní i spojité funkce jsou riemannovsky integrovatelné. Stejnoměrná spojitost, příklady. Konečně mnoho změn hodnot funkce nezmění hodnotu integrálu - pro srovnání zmíněn Lebesgueův integrál. Funkcionální vlastnosti Riemannova integrálu: linearita.
16.3. Funkcionální vlastnosti Riemannova integrálu: monotonie, aditivita vzhledem k mezím. Riemannův integrál absolutní hodnoty funkce. Nástin důkazu věty, že omezená funkce s konečným počtem bodů nespojitosti je integrovatelná - požadavek konečnosti lze zeslabit.
21.3. Věta o existenci primitivní funkce ke spojité funkci - důkaz. Zobecněná primitivní funkce, Newtonův integrál. Příklady. Funkcionální vlastnosti Newtonova integrálu: monotonie, linearita apod. Newtonův vzorec.
23.3. Spojitá omezená funkce na omezeném intervalu má konvergentní Newtonův integrál. Per partes a věta o substituci pro určitý integrál (pro praxi předpokládáme, že substituovaná funkce je spojitá, ryze monotónní, s vlastní nenulovou derivací všude kromě konečně mnoha bodů).
28.3. Příklady použití per partes a věty o substituci. Vztah Riemannova a Newtonova integrálu. Geometrické aplikace: obsah plochy, křivka a délka křivky.
30.3. Parametrizace. Objem a povrch rotačního tělesa. Příklady.
4.4. Poznámka o absolutně a neabsolutně konvergentním integrálu. Diferenciální rovnice: motivace, definice, maximální a obecné řešení. Peanova věta o existenci řešení ODR. Věta o jednoznačnosti řešení (obě bez důkazu). Příklady.
6.4. Rovnice se separovanými proměnnými: definice, metoda výpočtu. Autonomní rovnice. Lineární diferenciální rovnice 1. řádu: definice, věta o existenci a jednoznačnosti řešení (o lin. prostoru řešení).
11.4. Lineární diferenciální rovnice 1. řádu: řešení ve dvou krocích (homogenní rovnice jako rovnice se separovanými proměnnými, variace konstanty), metoda integračního faktoru. Rovnice zadané pomocí homogenních funkcí. Lineární dif. rovnice vyšších řádů: věta o existenci a jednoznačnosti řešení, fundamentální systém.
13.4. Wronského determinant, vztah k lineární nezávislosti množiny funkcí, resp. množiny řešení. Příklady. Rovnice vyšších řádů s konstantními koeficienty: motivace, komplexní čísla - minimum nutné k hledání fundamentálního systému.
18.4. Lineární nezávislost funkcí e^ax (pro funkce typu x^n.e^ax nástin důkazu). Výpočetní postup pro rovnice vyšších řádů s konstantními koeficienty: hledání fundamentálního systému, variace konstant. Příklady.
20.4. Lineární DR se speciální pravou stranou: věta, příklady.
27.4. Poznámka o soustavách rovnic s konstantními koeficienty, souvislost s rovnicemi vyššího řádu. Funkce více proměnných: prostory R^n, metrika, norma, jejich vztah. Normy na R^n: euklidovská, maximová, součtová. Cauchy-Schwarzova nerovnost pro euklidovskou normu, odtud platnost trojúhelníkové nerovnosti. Definice okolí, tvar okolí v definovaných metrikách. Limita posloupnosti v R^n: definice, ekvivalence s konvergencí po složkách.
2.5. Aritmetika a základní fakta o limitách posloupností v R^n. Definice limity a spojitosti funkce více proměnných. Vzdálenost dvou množin. Hromadný a izolovaný bod množiny, limita a spojitost funkce vzhledem k množině. Příklady.
4.5. Věta o spojitosti a o limitě složené funkce. Kompaktní podmnožiny R^n: definice omezené, uzavřené množiny, kompaktní množina definována jako omezená uzavřená. V kompaktu lze z každé posloupnosti vybrat konvergentní (v metrických prostorech je to charakteristika kompaktních množin). Spojitý obraz kompaktní množiny je kompaktní. Spojitá funkce na kompaktu nabývá minima a maxima.
9.5. Parciální derivace, jejich aritmetika. Existence parciálních derivací v bodě neimplikuje spojitost; jsou-li na okolí bodu omezené, pak ano. Věta o přírůstku pro funkce více proměnných. Parciální derivace vyšších řádů, záměnnost. Totální diferenciál.
11.5. Vztah totálního diferenciálu a parciálních derivací, příklady. Lokální extrémy funkce více proměnných. Nutná podmínka pro lokální extrém, stacionární body. Taylorův vzorec pro funkce více proměnných, aplikace v důkazu postačujících podmínek - charakteristika lok. extrémů podle signatury Hessovy matice.
16.5. Postupy při určování signatury, příklady. Vnitřek a hranice množiny. Extrémy na kompaktu s parametrizovanou hranicí. Věta o Lagrangeových multiplikátorech (pro jedinou vazbu).
23.5. Příklady: extrémy na kompaktní množině, vázané extrémy. Poznámky o větě o implicitní funkci. Derivace ve směru, souvislost s totálním diferenciálem.
25.5. Gradient, Jacobiho matice. Totální diferenciál zobrazení z R^n do R^m. Věta o totálním diferenciálu složené funkce, řetězové pravidlo pro počítání parciálních derivací.


Literatura:
J. Veselý: Matematická analýza pro učitele I, II - novější rozšířená (leč těžko dostupná) verze: Základy matematické analýzy I, II
J. Kopáček: Matematika pro fyziky, Příklady z matematiky pro fyziky
V. Jarník: Diferenciální počet I, Integrální počet I
I. Černý: Úvod do inteligentního kalkulu
Několik příkladů diferenciálních rovnic (text ve výstavbě - připomínky vítány).