NMFM301, ZS 2023/24

Cvičenie 10 (praktické cvičenie 4)

(testy proporcii, kontingenčné tabuľky a \(\chi^2\) testy)

Zdrojový soubor pro Knit: Rmd soubor

Užitočné materiály pre prácu so štatistickým softwarom R

  • Bína, V., Komárek, A. a Komárková, L.: Jak na jazyk R. (PDF súbor)
  • Komárek, A.: Základy práce s R. (PDF súbor)
  • Kulich, M.: Velmi stručný úvod do R. (PDF súbor)
  • De Vries, A. a Meys, J.: R for Dummies. (ISBN-13: 978-1119055808)


Nasledujúce dva príkazy načítajú potrebné data a dodatočné R-kové (príkazy) funkcie, ktoré budú užitočné v ďalšej analýze.

load(url("http://msekce.karlin.mff.cuni.cz/~maciak/NMFM301/cv4_data.RData"))
load(url("http://msekce.karlin.mff.cuni.cz/~maciak/NMFM301/functions.RData"))

Po načítaní súboru cv4_data.RData máme v programe R k dispozici tri datové soubory deti, kraje a zam. Data deti udávají počty dětí narozených v Československu v jednotlivých měsících roku 1970 (zdroj: Anděl, Matematická statistika, SNTL 1977). Datový súbor kraje pochádza z veřejných databází Českého statistického úřadu. Nakoniec datový súbor zam pochádza ze sociálního průzkumu provedeného v ČR v roce 2004.

Samostatne

  • Použijte základné popisné charakteristiky a aplikujte ich na data. Pomocou týchto popisných charakteristik sa pokúste získať základný prehlad o štruktúre dát a jednotlivých nameraných hodnotách (t.j., jednoduchá exploratívna analýza).
  • Použijte niektoré grafické nástroje a pomocou nich sa pokúste zmysluplne poskytnúť ucelený obraz o datach, ktoré máte k dispozícii.
  • Využijte príkazy dim(), ‘head()’, ‘summary()’, ‘str()’, a ďalšíe, Zamyslite sa nad vhodnou grafickou reprezentáciou diskretných premenných (t.j., absolútných a relatívných počtov v rôznych kategóriach).



I. Odhadování a testování pravděpodobností a šancí

Ako prvý využijeme datový súbor zam, ktorý obsahuje data ze sociologického průzkumu provedeného v ČR v roce 2004. Zahrnuje veličiny idno (identifikační kód), tvtot (jak dlouho se obvykle denně díváte na televizi?), gndr (pohlaví), agea (věk), domicil (velikost sídla bydliště), eduyrs (počet let vzdělání), unempl (je nyní nezaměstnaný/á), regioncz (kraj bydliště).

V nasledujúcom sa budeme zabývat nezaměstnaností.

Samostatne

  • Pomocou základných popisných charakteristík sa opäť podívajte na data a pokúste sa popísať základnú štruktúru vzhľadom k nezamestnanosti v jednotlivých regiónoch ČR..
  • Použijte grafické nástroje a pokuste sa navrhnúť vhodnú vizuálizáciu nezamestnanosti vhľadom k ostatným populačno-sociologickým charakteristikám, ktoré sú v datách obsiahnuté.



Začneme s celkovým pohľadom na počet zamestnaných a nezaměstnaných ľudi obsiahnutých v prieskume:

table(zam$unempl)
## 
##    0    1 
## 2645  154

resp. relatívne počty, ktoré mávajú často viac výpovednú hodnotu (ale maly by byť doplnené informáciou o celkovom počete pozorovaní, t.j., \(n = 2799\)):

format(100 * table(zam$unempl)/nrow(zam), digits = 2, trim = T)
## 
##      0      1 
## "94.5"  "5.5"

Nezamestnaných je teda 154 z 2799 respondentov a teda príslušný odhad pravděpodobnosti, že jedinec v populácii (uvedomte si rozdiel, medzi jedincom v populácii a respondentom v náhodnom výbere) je nezaměstnaný je \(\widehat{p}_n=154/2799=0.055\). Odhad šance na nezaměstnanost je \(\widehat{p}_n/(1-\widehat{p}_n)=0.0582\). Protože pravděpodobnost nezaměstnanosti je malá, šance je blízko hodnoty pravděpodobnosti.

Budeme testovat, zdali je míra (pravděpodobnost) nezaměstnanosti rovna 0.05. Použijeme funkci propor (není součástí R), která počítá přibližný interval spolehlivosti pro pravděpodobnost a testuje hypotézu \(H_0: p_X=p_0\) dvěma způsoby: jednak přímo pomocí Věty 7.1 (asymptotická normalita odhadu \(\widehat{p}_n\)), jednak přes šanci pomocí Věty 7.2 (delta veta pre transformáciu parametru \(p\) na logaritmus šance, t.j., \(\theta = \log \frac{p}{1 - p}\)). Vstupní argumenty jsou tři: počet úspěchů \(X_n\), počet pokusů (velikost populace) \(n\), a hypotetická pravděpodobnost \(p_0\).

x <- sum(zam$unempl)
n <- nrow(zam)
propor(x,n,p0=0.05)
## 
## Testovani pravdepodobnosti
## 
## 154 uspechu z 2799 pokusu
## 
## Odhadnuta pravdepodobnost: 0.055 
## Odhadnuta sance          : 0.0582 
## Odhadnuta log-sance      : -2.84 
## 
## 95%-ni as. interval spolehlivosti pro pravdapodobnost - metoda 1:
## ( 0.0466 , 0.0635 )
## 
## As. test hypotezy p=0.05 proti p!=0.05 - typ 1:
## Testova statistika 1.165, p-hodnota 0.244
## 
## 95%-ni as. interval spolehlivosti pro pravdepodobnost - metoda 2:
## ( 0.0472 , 0.0641 )
## 
## As. test hypotezy p=0.05 proti p!=0.05 - typ 2:
## Testova statistika 1.218, p-hodnota 0.223

Hypotézu, že pravděpodobnost nezaměstnanosti je 0.05, nemůžeme zamítnout. Obě metody dávají velmi podobné výsledky jak co se týče výsledku testu, tak co se týče intervalu spolehlivosti pro parametr \(p_X\). Statistický program R nám dává i možnost otestovat hypotézu přesným testem založeným na binomickém rozdělení a získat přesný interval spolehlivosti. Toto provádí funkce binom.test. Její vstupní argumenty jsou stejné, jako u funkce propor (jen poslední argument se jmenuje p místo p0).

binom.test(x,n,p=0.05)
## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  x and n
## number of successes = 154, number of trials = 2799, p-value = 0.2245
## alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.05
## 95 percent confidence interval:
##  0.04686276 0.06412182
## sample estimates:
## probability of success 
##             0.05501965

Výsledky jsou velmi podobné oběma metodám z funkce propor, neboť pracujeme s dosti velkým počtem pozorování.

Součástí základní distribuce R je funkce prop.test, která provádí asymptotický test metodou 2, ale uvádí čtverec testové statistiky a používá asymptotické rozdělení \(\chi^2_1\):

prop.test(x,n,p=0.05,correct=FALSE)
## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  x out of n, null probability 0.05
## X-squared = 1.4848, df = 1, p-value = 0.223
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.05
## 95 percent confidence interval:
##  0.04716603 0.06409301
## sample estimates:
##          p 
## 0.05501965



Znížovanie rozsahu \(n \in \mathbb{N}\) a vyšetrovanie sily jednotlivých testov

Nyní budeme zkoumat nezaměstnanost mezi některými subpopulacemi (což vlastne povede ke zmenšování rozsahu uvažovaného náhodného výběru a následne menší sile jednotlivých testov).

Napr., zameriame sa pouze na zaměstnanost/nezam+estnanost ve Zlínském kraji (pozor na správny rozsah zkoumané populace – t.j., zmena hodnoty \(n\)).

x <- sum(zam$unempl[zam$regioncz=="Zlin Reg."])
n <- sum(zam$regioncz=="Zlin Reg.")
propor(x,n,p0=0.05)
## 
## Testovani pravdepodobnosti
## 
## 4 uspechu z 113 pokusu
## 
## Odhadnuta pravdepodobnost: 0.0354 
## Odhadnuta sance          : 0.0367 
## Odhadnuta log-sance      : -3.31 
## 
## 95%-ni as. interval spolehlivosti pro pravdapodobnost - metoda 1:
## ( 0.00133 , 0.0695 )
## 
## As. test hypotezy p=0.05 proti p!=0.05 - typ 1:
## Testova statistika -0.84, p-hodnota 0.401
## 
## 95%-ni as. interval spolehlivosti pro pravdepodobnost - metoda 2:
## ( 0.0133 , 0.0905 )
## 
## As. test hypotezy p=0.05 proti p!=0.05 - typ 2:
## Testova statistika -0.7083, p-hodnota 0.479
binom.test(x,n,0.05)
## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  x and n
## number of successes = 4, number of trials = 113, p-value = 0.6645
## alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.05
## 95 percent confidence interval:
##  0.009727554 0.088156443
## sample estimates:
## probability of success 
##             0.03539823

Nezaměstnanost na vesnicích ve Zlínském kraji:

x <- sum(zam$unempl[zam$regioncz=="Zlin Reg." & zam$domicil=="Country village"])
n <- sum(zam$regioncz=="Zlin Reg." & zam$domicil=="Country village")
propor(x,n,p0=0.05)
## 
## Testovani pravdepodobnosti
## 
## 4 uspechu z 75 pokusu
## 
## Odhadnuta pravdepodobnost: 0.0533 
## Odhadnuta sance          : 0.0563 
## Odhadnuta log-sance      : -2.88 
## 
## 95%-ni as. interval spolehlivosti pro pravdapodobnost - metoda 1:
## ( 0.00248 , 0.104 )
## 
## As. test hypotezy p=0.05 proti p!=0.05 - typ 1:
## Testova statistika 0.1285, p-hodnota 0.898
## 
## 95%-ni as. interval spolehlivosti pro pravdepodobnost - metoda 2:
## ( 0.0202 , 0.134 )
## 
## As. test hypotezy p=0.05 proti p!=0.05 - typ 2:
## Testova statistika 0.1324, p-hodnota 0.895

Tady už je rozsah výběru tak malý (pouze 4 ,,úspěchy’’), že bychom rozhodně neměli používat asymptotické metody. Porovnanie s presným testom (dole) ale ukazuje, že i asymptotické metódy stále dávajú použitelné výsledky (celkový počet pozorovaní je totiž \(4 + 71 = 75\), takže celkom postačujúci počet pre aproximáciu pomocou centrálnej limitnej vety – i keď zastsúpenie v jednotlivých kategóriach je dosť nevyvážené). Aké to má teoretické následky/praktické následky?

binom.test(x,n,0.05)
## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  x and n
## number of successes = 4, number of trials = 75, p-value = 0.7899
## alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.05
## 95 percent confidence interval:
##  0.01472076 0.13096081
## sample estimates:
## probability of success 
##             0.05333333

Nezaměstnanost mezi ženami na vesnicích ve Zlínském kraji:

x <- sum(zam$unempl[zam$regioncz=="Zlin Reg." & zam$domicil=="Country village" & zam$gndr=="Female"])
n <- sum(zam$regioncz=="Zlin Reg." & zam$domicil=="Country village"  & zam$gndr=="Female")
propor(x,n,p0=0.05)
## 
## Testovani pravdepodobnosti
## 
## 1 uspechu z 32 pokusu
## 
## Odhadnuta pravdepodobnost: 0.0312 
## Odhadnuta sance          : 0.0323 
## Odhadnuta log-sance      : -3.43 
## 
## 95%-ni as. interval spolehlivosti pro pravdapodobnost - metoda 1:
## ( -0.029 , 0.0915 )
## 
## As. test hypotezy p=0.05 proti p!=0.05 - typ 1:
## Testova statistika -0.6096, p-hodnota 0.542
## 
## 95%-ni as. interval spolehlivosti pro pravdepodobnost - metoda 2:
## ( 0.00438 , 0.191 )
## 
## As. test hypotezy p=0.05 proti p!=0.05 - typ 2:
## Testova statistika -0.4818, p-hodnota 0.63
binom.test(x,n,0.05)
## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  x and n
## number of successes = 1, number of trials = 32, p-value = 1
## alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.05
## 95 percent confidence interval:
##  0.0007908686 0.1621709942
## sample estimates:
## probability of success 
##                0.03125

V tomto extrémním případě už metoda 1 zcela selhává - interval spolehlivosti zahrnuje i záporná čísla a jeho horní okraj je špatný ve srovnání s přesným intervalem.

Máte-li čas, otestujte, zdali pravděpodobnost, že občan má aspoň 12 let školní docházky je rovna jedné polovině. Proveďte to v celé populaci, mezi ženami, mezi ženami staršími 50 let, a mezi ženami staršími 50 let žijícími na vesnici.

II. Kontingenčne tabuľky a \(\boldsymbol{\chi^2}\) testy nezávislosti a dobré zhody

V tejto časti budeme používať datovy súbor deti, který udáva počty dětí narozených v Československu v jednotlivých měsících roku 1970. Pomocou grafických nástrojov bežne dostupných v programe R sa na data podívajte a pokuste se data zobrazit vždy tak, aby výsledný graf poskytoval určité možnosti jak nahlédnout do struktúry, které se týka daný statistický test.

Rodí se děti rovnoměrně během roku?

Datový súbor obsahuje len 12 pozorovaní, ktoré predstavujú súhrnné počty narodených detí pre každý mesiac v roku 1970.

barplot(deti$poc.deti,names.arg = c("Leden", " Únor", "Březen", "Duben", "Květen", "Červen", "Červenec", "Srpen", "Žárí", "Říjen", "Listopad", "Prosinec"), col = "lightblue", cex.names = 0.8, ylim = c(0,25000))
abline(mean(deti$poc.deti), 0, col = "red", lwd = 2, lty =2)
text(13.5, 21800, "Celkový priemer", col = "red")

Ověříme, jestli se děti rodí rovnoměrně během roku. Pokud by tomu tak bylo, pravděpodonosti jednotlivých měsíců by byly přímo úměrné počtu dní v měsíci. Zapíšeme tedy počty dní v měsících do vektoru a ověříme, že součet dá 365 (rok 1970 nebyl přestupný). Vieme teda rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré zodpovedá nulovej hypotéze. Z matematického/štatistického hľadiska preto využijeme tzv. \(\chi^2\) test dobrej zhody.

dni <- c(31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31)
sum(dni)
## [1] 365

Nyní napočítáme pravděpodobnosti měsíců za nulové hypotézy.

psti <- dni/sum(dni)
psti
##  [1] 0.08493151 0.07671233 0.08493151 0.08219178 0.08493151 0.08219178
##  [7] 0.08493151 0.08493151 0.08219178 0.08493151 0.08219178 0.08493151

Popripade tie ist pravdepodobnosti s presnosťou na štyri desatinné miesta:

round(psti, 4)
##  [1] 0.0849 0.0767 0.0849 0.0822 0.0849 0.0822 0.0849 0.0849 0.0822 0.0849
## [11] 0.0822 0.0849

Odhadnuté pravdepodobnosti z datového súboru (opäť na štyri desatinne miesta):

round(deti$poc.deti / sum(deti$poc.deti), 4)
##  [1] 0.0838 0.0790 0.0902 0.0902 0.0915 0.0865 0.0845 0.0805 0.0829 0.0793
## [11] 0.0741 0.0775



Budeme testovať nulovô hypotézu, že vektor pravděpodobností multinomického rozdělení, které vygenerovalo počty narozených dětí, je roven vektoru pravdepodobnosti, ktorý máme uložený v R objekte psti. Formálne (matematicky) zapísané, zaujíma nas test nulovej hypotézy \[ H_0:~\boldsymbol{p} = \boldsymbol{p}_0, \] kde \(\boldsymbol{p} = (p_1, \dots, p_{12})^\top \in [0,1]^{12}\) je vektor pravdepodobnosti, že sa náhodne vybrané dieťa narodí v niektorom z 12tich mesiacov. Samozrejme platí, že \(\sum_{i = 1}^{12} p_i = 1\), inak by sa totiž nejednalo o pravdepodobnostné rozdelenie. Pripomeňte si teoretické základy \(\chi^2\) testu dobrej zhody.

V programe R oužijeme funkci chisq.test. Její první argument je vektor pozorovaných četností a druhý, argument p, obsahuje hypotetické pravděpodobnosti - vektor pravdepodobnosti v multinomickom rozdelení za platnosti nulovej hypotézy.

chisq.test(deti$poc.deti,p=psti)
## 
##  Chi-squared test for given probabilities
## 
## data:  deti$poc.deti
## X-squared = 1004.1, df = 11, p-value < 2.2e-16

Testová statistika je velmi velká (referenční rozdělení \(\chi^2_{11}\) má střední hodnotu 11), p-hodnota je takřka nulová. Hypotézu tedy s velkou rezervou zamítáme.

Podívejme se blíže na způsob výpočtu testové statistiky. Testová štatistika \(\chi^2\) testu dobrej zhody, je definovaná predpisom \[ \chi^2=\sum_{k=1}^K\frac{(X_k-np^0_k)^2}{np^0_k}. \]

Pre lepšie pochopenie pomůže nám funkce kuchej.chisq (není součástí R).

kuchej.chisq(deti$poc.deti,psti)
##    skupina cetnost        pst      ocek        rozdil   statistika
## 1        1   21182 0.08493151  21465.59 -2.835890e+02    3.7465892
## 2        2   19960 0.07671233  19388.27  5.717260e+02   16.8591929
## 3        3   22787 0.08493151  21465.59  1.321411e+03   81.3453998
## 4        4   22805 0.08219178  20773.15  2.031849e+03  198.7378661
## 5        5   23120 0.08493151  21465.59  1.654411e+03  127.5099237
## 6        6   21859 0.08219178  20773.15  1.085849e+03   56.7592636
## 7        7   21367 0.08493151  21465.59 -9.858904e+01    0.4528084
## 8        8   20357 0.08493151  21465.59 -1.108589e+03   57.2530136
## 9        9   20946 0.08219178  20773.15  1.728493e+02    1.4382453
## 10      10   20037 0.08493151  21465.59 -1.428589e+03   95.0762005
## 11      11   18728 0.08219178  20773.15 -2.045151e+03  201.3484323
## 12      12   19592 0.08493151  21465.59 -1.873589e+03  163.5331734
## 13  Celkem  252740 1.00000000 252740.00  1.818989e-11 1004.0601088

V prvním sloupečku je číslo \(k\) nebo název skupiny (kategorie). Ve druhém je pozorovaná četnost \(X_k\). Dále následuje hypotetická pravděpodobnost \(p^0_k\) a očekávaná četnost (kdyby hypotéza platila) \(np^0_k\). V posledních dvou sloupečcích je rozdíl \(X_k-np^0_k\) mezi pozorovanou a očekávanou četností a příspěvek \((X_k-np^0_k)^2/(np^0_k)\) do testové statistiky. Vidíme, které kategorie (měsíce) nejvíce přispěly k hodnotě 1004.06, která vedla k zamítnutí hypotézy. Byly to duben a květen, kdy se narodilo mnohem více dětí, než kolik by mělo, kdyby se děti rodily rovnoměrně, a dále listopad a prosinec, kdy se naopak narodilo dětí méně.

Je poměr nezamestnaných stejný u mužů a u žen?

Funkciu chisq.test je možné použíť aj k testovaniu nulovej hypotézy o nezávislosti dvoch premenných – tzv. \(\chi^2\) test nezávislosti. Ak budeme pre jednoduchosť uvažovať pouze dve binárne premenné – napr. náhodnú veličinu \(X_1\) (ktorá nabýva hodnot 1 a 2 s pravdepodobnostou \(p_11\) a \(p_12\)) a druhú náhodnú veličinu \(X_2\) (ktorá nabýva hodnot 1 a 2 s pravdepodobnostou \(p_21\) a \(p_22\)), tak nulovú hypotézu nezávislosti lze formálne (matematicky) zapísať takto:

\[ H_0: p_{i j} = p_{i \bullet} p_{\bullet j} \qquad \textrm{pre všetky $i, j \in \{1,2\}$.} \] Samozrejme platí, že \(p_{11} + p_{12} = 1\) a \(p_{21} + p_{22} = 1\) (v opačnom prípade by sa nejednalo o rozdelenie pravdepodobnosti) a tiež

\[ p_{i \bullet} = p_{i 1} + p_{i 2} \qquad \textrm{a} p_{\bullet j} = p_{1 j} + p_{2 j} \qquad \textrm{opäť pre všetky $i,j \in \{1,2\}$.} \]



Použijeme opäť datový súpbor zam a uvažovať budeme mieru zamestnanosti/nezamestnanosti medzi mužmi a ženami. Pozorovaná (empirická) kontingenčná tabuľka (pre nezamestnanosť mužov a žien) je

tbl <- table(zam$unempl, zam$gndr)
tbl
##    
##     Male Female
##   0 1238   1407
##   1   57     97

Pomocou funkcie barplot() možeme na data nahliadnúť pomocou obrázku

barplot(tbl, cex.names = 0.8, horiz = T, col = c("darkblue","red"), xlim = c(0,1600))

Keďže nás ale zaujíma pomer, lepšie bude pozrieť sa na data prostredníctvom relatívnych čísel:

(tbl_rep<- 100 * cbind(tbl[,1]/sum(tbl[,1]), tbl[,2]/sum(tbl[,2])))
##        [,1]      [,2]
## 0 95.598456 93.550532
## 1  4.401544  6.449468
barplot(tbl_rep, cex.names = 0.8, horiz = T, col = c("darkblue","red"), xlim = c(0,100))

Spočítajte relatívne četnosti a pomocou funkcie chisq.test aplikujte test nezávislosti medzi pohlavím a mierou nezamestnanosti.

chisq.test(tbl)
## 
##  Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
## 
## data:  tbl
## X-squared = 5.2261, df = 1, p-value = 0.02225

Aká je výsledná interpretácia testu?

Je úmrtnost ve věku 15-19 let stejná ve všech krajích?

Nyní použijeme data kraje a zaujímať nás bude miera úmrtnosti v jednotlivých krajoch ČR.

kraje
##                             kraj    obyv naroz posl zemr.15.19 obyv.15.19
## 1       Hlavn\xed m\xecsto Praha 1246780 14233   24          9      47373
## 2      St\xf8edo\xe8esk\xfd kraj 1291816 14483   25         27      61552
## 3           Jiho\xe8esk\xfd kraj  636611  6672   12         22      31887
## 4            Plze\xf2sk\xfd kraj  572687  5785   11          8      26926
## 5            Karlovarsk\xfd kraj  301726  2831    5         13      15177
## 6             \xdasteck\xfd kraj  826764  8246   14         15      42749
## 7              Libereck\xfd kraj  438594  4609    8          7      22035
## 8  Kr\xe1lov\xe9hradeck\xfd kraj  552946  5489   11         12      27779
## 9             Pardubick\xfd kraj  516440  5405   10          8      26552
## 10              Kraj Vyso\xe8ina  511207  5166   11         12      27476
## 11          Jihomoravsk\xfd kraj 1168650 12385   23         17      55909
## 12             Olomouck\xfd kraj  637609  6319   12          9      31777
## 13            Zl\xednsk\xfd kraj  587693  5512   12         10      29521
## 14       Moravskoslezsk\xfd kraj 1226602 11820   22         19      63552

Budeme testovat, zdali všechny kraje měly stejné riziko úmrtí mladých lidí ve věku 15-19 let. Ve sloupečku zemr.15.19 vidíme počty zemřelých v této věkové kategorii v jednotlivých krajích (v roce 2012). Nesmíme však zapomenout, že kraje jsou různě velké a úmrtnost musíme posuzovat úměrně k počtu obyvatel v dané věkové kategorii. Tyto počty jsou uvedeny ve sloupečku obyv.15.19.

Napočítáme nejprve pravděpodobnosti, které by odpovídaly stejné úmrtnosti ve všech krajích.

psti <- kraje$obyv.15.19/sum(kraje$obyv.15.19)
psti
##  [1] 0.09283999 0.12062752 0.06249106 0.05276866 0.02974337 0.08377804
##  [7] 0.04318344 0.05444034 0.05203571 0.05384653 0.10956856 0.06227548
## [13] 0.05785425 0.12454705

Nyní provedeme test hypotézy, že rozdělení počtu zemřelých do krajů se řídí právě těmito pravděpodobnostmi a vykucháme výpočet testové statistiky.

chisq.test(kraje$zemr.15.19,p=psti)
## 
##  Chi-squared test for given probabilities
## 
## data:  kraje$zemr.15.19
## X-squared = 27.376, df = 13, p-value = 0.01105
kuchej.chisq(kraje$zemr.15.19,psti,skup=kraje$kraj)
##                          skupina cetnost        pst       ocek        rozdil
## 1       Hlavn\xed m\xecsto Praha       9 0.09283999  17.453919 -8.453919e+00
## 2      St\xf8edo\xe8esk\xfd kraj      27 0.12062752  22.677973  4.322027e+00
## 3           Jiho\xe8esk\xfd kraj      22 0.06249106  11.748319  1.025168e+01
## 4            Plze\xf2sk\xfd kraj       8 0.05276866   9.920508 -1.920508e+00
## 5            Karlovarsk\xfd kraj      13 0.02974337   5.591753  7.408247e+00
## 6             \xdasteck\xfd kraj      15 0.08377804  15.750271 -7.502709e-01
## 7              Libereck\xfd kraj       7 0.04318344   8.118487 -1.118487e+00
## 8  Kr\xe1lov\xe9hradeck\xfd kraj      12 0.05444034  10.234784  1.765216e+00
## 9             Pardubick\xfd kraj       8 0.05203571   9.782713 -1.782713e+00
## 10              Kraj Vyso\xe8ina      12 0.05384653  10.123148  1.876852e+00
## 11          Jihomoravsk\xfd kraj      17 0.10956856  20.598889 -3.598889e+00
## 12             Olomouck\xfd kraj       9 0.06227548  11.707791 -2.707791e+00
## 13            Zl\xednsk\xfd kraj      10 0.05785425  10.876599 -8.765994e-01
## 14       Moravskoslezsk\xfd kraj      19 0.12454705  23.414845 -4.414845e+00
## 15                        Celkem     188 1.00000000 188.000000  8.881784e-16
##     statistika
## 1   4.09471059
## 2   0.82370304
## 3   8.94570219
## 4   0.37179053
## 5   9.81483197
## 6   0.03573948
## 7   0.15409449
## 8   0.30445078
## 9   0.32486544
## 10  0.34797223
## 11  0.62877181
## 12  0.62626095
## 13  0.07064952
## 14  0.83241457
## 15 27.37595759

Testová statistika vyšla 27.38. Porovnává se s kvantilem rozdělení \(\chi^2_{13}\) (14 krajů - 1), které má střední hodnotu 13. Její hodnota stačí na zamítnutí nulové hypotézy (p-hodnota 0.011). Tedy zamítáme hypotézu, že všechny kraje měly stejné riziko úmrtí mladých lidí ve věku 15-19 let.

Které kraje se nejvíce liší? Prakticky celou pozorovanou hodnotu testové statistiky vytvořily pouze tři kraje: Praha, kde byla úmrtnost nižší než jinde, a Jihočeský a Karlovarský kraj, kde byla úmrtnost naopak velmi vysoká. Máte-li v těchto dvou krajích mladší kamarády, radši jim poraďte, aby se raději přestěhovali buď do Prahy anebo alespoň do kraje Ústeckého nebo Moravskoslezského.

Samostatne

Otázka, zda je úmrtnosť lidí ve věku 15-19 let stejná ve všech krajích je vpodstatě ekvivalentní s otázkou, zda lze považovat úmrtnost a kraj za nezávisle veličiny. Formálne to vypadá na použití statistického testu pro testování nezávislosti - \(\chi^2\) testu nezávislosti. Je možné tento test aplikovat na data z datového souboru zam? Pokud ano, udělejte to, pokud ne, vysvětlete proč.



III. Inferencia pre lineárne kombinácie pravdepodobnosti

Budeme pracovat s daty zam a zkoumat velikosti městské vs. venkovské populace v ČR v roce 2004. Velikost bydliště respondenta je uvedena ve veličině zam$domicil. Funkce table nám spočítá, kolik respondentů se nachází v existujících kategoriích této veličiny.

tbl <- table(zam$domicil)
tbl
## 
##                       A big city Suburbs or outskirts of big city 
##                              519                              138 
##               Town or small city                  Country village 
##                             1360                              776 
##      Farm or home in countryside 
##                                6

Celkový počet respondentů je

sum(tbl)
## [1] 2799

Vizuálne môžeme data reprezentovať napr. pomocou koláčového grafu (tzv. piechart):

library("colorspace") 
pie(table(zam$domicil), col = diverging_hcl(5, c = 100, l = c(50, 90)))

Vhodným modelem pro tuto tabulku je multinomické rozdělení s \(K=5\) kategoriemi, celkovým počtem pozorování \(n=2799\) a neznámým vektorem pravděpodobností \(p\). Ten můžeme odhadnout vektorem relativních četností \(\widehat{p}_n\):

tbl/sum(tbl)
## 
##                       A big city Suburbs or outskirts of big city 
##                      0.185423365                      0.049303323 
##               Town or small city                  Country village 
##                      0.485887817                      0.277241872 
##      Farm or home in countryside 
##                      0.002143623

Mohli bychom využít i funkce prop.table, která počítá totéž:

prop.table(tbl)
## 
##                       A big city Suburbs or outskirts of big city 
##                      0.185423365                      0.049303323 
##               Town or small city                  Country village 
##                      0.485887817                      0.277241872 
##      Farm or home in countryside 
##                      0.002143623

Otestujme nejprve, zdali je pravda, že procento lidí žijících na venkově je o 10 větší než procento lidí žijících ve velkoměstech. Venkovská populace odpovídá posledním dvěma kategoriím tabulky. Velkoměstská populace je v první kategorii tabulky. Jde tedy o to, zdali součet posledních dvou pravděpodobností, tj. \(p_4+p_5\), je o 0.1 větší než pravděpodobnost \(p_1\).

Stanovíme vektor \(c=(-1,0,0,1,1)^T\) a budeme testovat hypotézu \(H_0: c^T p=0.1\). Použijeme funkci multitest, která není součástí R, ale implementuje vzorec (7.4) z větníku (str. 68-69). Prvním argumentem této funkce je realizace vektoru s multinomickým rozdělením, druhý argument specifikuje vektor \(c\) pro lineární kombinaci parametrů. Třetí argument uvádí hodnotu lineární kombinace \(c^T p\) za nulové hypotézy.

multitest(tbl,comb=c(-1,0,0,1,1),c0=0.1)
## Warning in c(-1, 1) * d: Recycling array of length 1 in vector-array arithmetic is deprecated.
##   Use c() or as.vector() instead.
## 
## Testovani linearnich kombinací pravdepodobnosti
## 
## Multinomicky vektor: 519 138 1360 776 6 
## 
## Odhadnute pravdepodobnosti: 0.18500 0.04930 0.48600 0.27700 0.00214 
## H0: - p1 + p4 + p5 = 0.1 
## 
## Odhad - p1 + p4 + p5 = 0.09396 
## 
## Testova statistika = -0.4731, p-hodnota = 0.636
## 
## Priblizny 95%-ni interval spolehlivosti:
## ( 0.0689 , 0.119 )

Odhad požadované lineární kombinace je 0.09396, což je blízko 0.1. Testová statistika (7.4) je -0.4731. Test má p-hodnotu 0.636, takže nulovou hypotézu nelze zamítnout. Interval spolehlivosti říká, že rozdíl mezi procentem lidí žijících na venkově a procentem lidí žijících ve velkoměstech je s pravděpodobností 0.95 někde mezi 6.9 a 11.9.

Podobně můžeme otestovat hypotézu, že počet lidí žijících v menších městech je dvakrát větší než počet lidí žijících ve velkoměstech a jejich bezprostředním okolí.

multitest(tbl,comb=c(1,1,-1/2,0,0),c0=0)
## Warning in c(-1, 1) * d: Recycling array of length 1 in vector-array arithmetic is deprecated.
##   Use c() or as.vector() instead.
## 
## Testovani linearnich kombinací pravdepodobnosti
## 
## Multinomicky vektor: 519 138 1360 776 6 
## 
## Odhadnute pravdepodobnosti: 0.18500 0.04930 0.48600 0.27700 0.00214 
## H0:  p1 + p2 -0.5 p3 = 0 
## 
## Odhad  p1 + p2 -0.5 p3 = -0.008217 
## 
## Testova statistika = -0.7285, p-hodnota = 0.466
## 
## Priblizny 95%-ni interval spolehlivosti:
## ( -0.0303 , 0.0139 )

Sami si promyslete, proč je vektor \(c\) nastaven takto a co znamenají výsledky testu.



Samostatne

  • Pomocou základných popisných charakteristík a pomocou rôznych grafických nástrojov sa podívajte na štruktúru dat a navrhnite vlastnú lineárnu kombináciu pre vektor neznámich pravdepodobnosti v multinomickom rozdelení a test pre nulovosť vami zvolenej lineárnej kombinácie pomocou programu R spočítajte.
  • Interpretujte výsledky testu vrámci kontextu celého problému a dát, ktoré máte k dispozícii.