Jaroslav Lukeš : Úvod do funkcionální analýzy Karolinum

ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY

I. Základní pojmy

1. Banachovy a Hilbertovy prostory
   • normované lineární prostory, příklady (konečně dimenzionální, spojité funkce na kompaktu, Radonovy míry, prostory posloupností, $L^p$-prostory)
   • spojitost normy
   • algebraické a topologické součty i doplňky, projekce
   • Hilbertův prostor, skalární součin, rovnoběžníkové pravidlo, Schwarzova nerovnost, ortogonální prvky, ortonormální systémy, Besselova nerovnost, ortonormální báze a jejich charakteristiky (úplnost, Parsevalova rovnost, Fourierův rozvoj, vyjádření skalárního součinu), ortogonální projekce a její vlastnosti, ortogonální doplňky
   • existence nejmenšího prvku pro uzavřené podprostory a jeho charakteristika
   • Rieszova věta o skoro kolmici, kompaktnost jednotkové koule (další charakteristika prostorů konečné dimenze)
2. Lineární zobrazení a funkcionály
   • algebraická verze Hahn-Banachovy věty
   • spojitost a omezenost lineárního zobrazení, norma spojitého lineárního zobrazení
   • prostor spojitých lineárních zobrazení, jeho úplnost, algebraický a topologický duál
   • izometrická a izomorfní zobrazení
   • Fréchet-Rieszova věta o spojitých lineárních formách na Hilbertově prostoru
   • popis duálů konkrétních prostorů ($L^p$-prostory, Hilberovy prostory, $\Cal C (K)$, prostory posloupností)
   • druhý duál
3. Reflexivní prostory
   • analytická verze Hahn-Banachovy věty
   • speciální Hahn-Banachova věta o tečné nadrovině a oddělování bodů
   • kanonické vnoření $X$ do $X^{**}$ a jeho vlastnosti
   • reflexivní prostory, příklady, reflexivita Hilbertových a $L^p$-prostorů
   • adjungovaná zobrazení v Banachových a Hilbertových prostorech
4. Slabá konvergence
   • úvod do problematiky (Bolzano-Weierstrassova věta, kompaktnost v nekonečné dimenzi)
   • slabá konvergence v $X$, příklady
   • problém definice slabých konvergencí v $X^*$

II. Základní věty funkcionální analýzy

1. Princip stejnoměrné omezenosti
   • Baireova věta o kategoriích
   • princip stejnoměrné omezenosti
   • Banach-Steinhausova věta
   • silná omezenost slabě konvergentních posloupností
   • (Eberlein-Šmuljanova) charakteristika reflexivních prostorů
   • konvergence Fourierových řad (přehledně: problém konvergence pro spojité funkce, sšítatelnost Fourierových řad, $L^2$-konvergence, Carlesonův výsledek, existence spojitých funkcí s konvergentní Fourierovou řadou)
2. Věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu
   • věta o otevřeném zobrazení (bez důkazu)
   • spojitost lineárního inverzního zobrazení
   • součin normovaných lineárních prostorů
   • vztah spojitých a uzavřených zobrazení, věta o uzavřeném grafu

III. Spektrální teorie kompaktních operátorů

1. Operátory v Banachových prostorech}
   • lineární rovnice v $\bold R ^n$, lineární zobrazení a matice
   • vztah integrálních a diferenciálních rovnic
   • Fredholmovy a Volterrovy integrální rovnice, jádra, integrální operátory
   • vlastní vektory a vlastní hodnoty
   • invertibilní operátory versus prosté operátory, které jsou na, vyjádření inverze pomocí Neumannovy řady, otevřenost množiny invertibilních operátorů
   • pojem spektra omezeného lineárního operátoru
2. Kompaktní operátory
   • kompaktní operátory a jejich vlastnosti, příklady (Fredholmovy a Volterrovy operátory)
   • charakteristika kompaktních operátorů v Hilbertových prostorech
   • Schauderova věta o kompaktnosti adjungovaného operátoru
3. Riesz-Schauderova teorie
   • tři Fredholmovy věty pro algebraické rovnice
   • dimenze jádra kompaktního operátoru a uzavřenost jeho range
   • Fredholmova alternativa
   • struktura spektra kompaktního operátoru
   • pojem anihilátoru (kolmice) a jeho základní vlastnosti
   • druhá Fredholmova věta (existence řešení pro danou pravou stranu)
   • třetí Fredholmova věta o dimenzi a kodimenzi původního a adjungovaného operátoru

Literatura