M120   ÚVOD  DO  FUNKCIONÁLNÍ  ANALÝZY


1. Základní pojmy:

  
  1.A. Banachovy a Hilbertovy prostory

   - normované lineární prostory, příklady (konečně dimenzionální, 
       spojité funkce na kompaktu, Radonovy míry, prostory posloupností, 
       $L^p$-prostory) 

   - spojitost normy
   
   - algebraické a topologické součty i doplňky, projekce
   
   - Hilbertův prostor, skalární součin, rovnoběžníkové pravidlo, 
       Schwarzova nerovnost, ortogonální prvky, ortonormální systémy, 
       Besselova nerovnost, ortonormální báze a jejich charakteristiky  
       (úplnost, Parsevalova rovnost, Fourierův rozvoj, vyjádření 
       skalárního součinu), ortogonální projekce a její vlastnosti, 
       ortogonální doplňky

   - existence nejmenšího prvku pro uzavřené podprostory a jeho 
       charakteristika

   - Rieszova věta o skoro kolmici, kompaktnost jednotkové koule (další 
       charakteristika prostorů konečné dimenze)
   
  1.B. Lineární zobrazení a funkcionály

   - algebraická verze Hahn-Banachovy věty
   
   - spojitost a omezenost lineárního zobrazení, norma spojitého 
       lineárního zobrazení

   - prostor spojitých lineárních zobrazení, jeho úplnost, algebraický 
       a topologický duál

   - izometrická a izomorfní zobrazení

   - Fréchet-Rieszova věta o spojitých lineárních formách na Hilbertově 
       prostoru

   - popis duálů konkrétních prostorů ($L^p$-prostory, Hilberovy 
       prostory, $\Cal C (K)$, prostory posloupností)

   - druhý duál
     
  1.C. Reflexivní prostory

   - analytická verze Hahn-Banachovy věty

   - speciální Hahn-Banachova věta o tečné nadrovině a oddělování bodů
   
   - kanonické vnoření $X$ do $X^{**}$ a jeho vlastnosti

   - reflexivní prostory, příklady, reflexivita Hilbertových a 
       $L^p$-prostorů
   
   - adjungovaná zobrazení v Banachových a Hilbertových prostorech


  1.D. Slabá konvergence

   - úvod do problematiky (Bolzano-Weierstrassova věta, kompaktnost v 
       nekonečné dimenzi)
   
   - slabá konvergence v $X$, příklady
   
   - problém definice slabých konvergencí v $X^*$


  
2. Základní věty funkcionální analýzy

 
 
  2.A. Princip stejnoměrné omezenosti

   - Baireova věta o kategoriích
   
   - princip stejnoměrné omezenosti
   
   - Banach-Steinhausova věta
   
   - silná omezenost slabě konvergentních posloupností
   
   - (Eberlein-Šmuljanova) charakteristika reflexivních prostorů
   
   - konvergence Fourierových řad (přehledně: problém konvergence pro 
       spojité funkce, sšítatelnost Fourierových řad, $L^2$-konvergence, 
       Carlesonův výsledek, existence spojitých funkcí s konvergentní 
       Fourierovou řadou)
   
  2.B. Věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu

   - věta o otevřeném zobrazení (bez důkazu)
   
   - spojitost lineárního inverzního zobrazení
   
   - součin normovaných lineárních prostorů
   
   - vztah spojitých a uzavřených zobrazení, věta o uzavřeném grafu
   


3. Spektrální teori kompaktních operátorů 



 3.A. Operátory v Banachových prostorech}

   - lineární rovnice v $\bold R ^n$, lineární zobrazení a matice

   - vztah integrálních a diferenciálních rovnic
   
   - Fredholmovy a Volterrovy integrální rovnice, jádra, integrální 
       operátory
   
   - vlastní vektory a vlastní hodnoty
   
   - invertibilní operátory versus prosté operátory, které jsou na, 
       vyjádření inverze pomocí Neumannovy řady, otevřenost množiny
       invertibilních operátorů
   
   - pojem spektra omezeného lineárního operátoru
   

  3.B. Kompaktní operátory


   - kompaktní operátory a jejich vlastnosti, příklady (Fredholmovy a 
       Volterrovy operátory)
   
   - charakteristika kompaktních operátorů v Hilbertových prostorech
   
   - Schauderova věta o kompaktnosti adjungovaného operátoru


  3.C. Riesz-Schauderova teorie

   - tři Fredholmovy věty pro algebraické rovnice
   
   - dimenze jádra kompaktního operátoru a uzavřenost jeho range
   
   - Fredholmova alternativa
   
   - struktura spektra kompaktního operátoru
   
   - pojem anihilátoru (kolmice) a jeho základní vlastnosti
   
   - druhá Fredholmova věta (existence řešení pro danou pravou stranu)
   
   - třetí Fredholmova věta o dimenzi a kodimenzi původního a 
   adjungovaného operátoru


Literatura

M. Katětov a J. Jelínek, Úvod do funkcionální analýzy (skripta, SPN Praha
         1968)

J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha 1998)

J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993 -
         anglické vydání 1995)

L. Mišík, Funkcionálna analýza (Alfa Bratislava, 1989)

K. Najzar, Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1988)

I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 
         1972)

P. Quittner, Funkcionálna analýza v príkladoch (Veda, SAV Bratislava 
         1990)

W. Rudin,  Analýza v reálném a komplexním oboru (Academia Praha 1977)

W. Rudin, Functional analysis (Mc Graw Hill 1973 - ruský překlad 1975)

J. Stará, Příklady z matematické analýzy IV: Funkcionální analýza 
         (skripta, SPN Praha 1975)

A.E. Taylor, Úvod do funkcionální analýzy (Academia Praha 1973)



Praha, 8. ledna 1998                   Jaroslav Lukeš