FUNKCIONÁLNÍ  ANALÝZA  II
             


1. Topologické lineární prostory


  1.A. Topologické lineární prostory

   - definice, příklady, základní vlastnosti

   - vlastnosti filtru okolí nuly, von Neumannovy axiomy, regularita


  1.B. Lokálně konvexní prostory
  

   - definice, filtr okolí nuly, barely

   - barelované prostory, vztah k Banach-Steinhausově
       větě, Baireovy LCS, Fréchetovy prostory

   - Minkowského funkcionál, základní vlastnosti, jeho spojitost

   - omezené množiny podle Banacha i von Neumanna, Kolmogorovovo 
       kriterium normovatelnosti, metrizovatelnost LCS

   - vytváření LCS pomocí systému pseudonorem, filtr okolí
       nuly, příklady, charakteristika konvergence


  1.C. Slabé topologie a dualita
  

   - slabé topologie, duál ve slabé topologii, báze okolí nuly

   - Hahn-Banachova věta pro LCS

   - přípustné topologie,  Mackeyova topologie, Mackey-Arensova věta

   - oddělování konvexních množin, malá Mazurova věta

   - uzávěr konvexní množiny v přípustných topologiích 

   - (absolutní) polára a její vlastnosti, věta o bipoláře

   - silná topologie, reflexivita a semireflexivita LCS

   - Alaoglu-Bourbakiho věta, Goldstinovo lemma

   - charakteristiky reflexivních Banachových prostorů (Pettis, 
       Banach-Bourbaki, James)

   - Eberlein-Šmulianova charakteristika kompaktních  množin ve 
       slabých topologiích Banachových prostorů



  1.D. Kompaktní konvexní množiny

   
   - extremální body, příklady

   - Bauerův princip minima

   - Krejn-Milmanova věta a neprázdnost množiny extremálních bodů

   - extremální body omezených, uzavřených, konvexních množin v Banachových 
       prostorech, Lindenstraussův výsledek, souvislost s prostory majícími
       Radon-Nikodýmovu vlastnost

   - extremální body a uzavřenost jednotkové sféry prostoru Radonových
       měr, aproximace molekulárními měrami

   - De Brangesův důkaz Stone-Weierstrassovy věty
     

  1.E. Integrální reprezentace
  

   - pojem těžiště a reprezentující míry, ilustrace v eukleidovských 
       prostorech (Caratheodoryova věta)

   - formulace úlohy o integrální reprezentaci, existence a jednoznačnost 
       reprezentující míry soustředěné na uzávěru či množině extremálních 
       bodů (reformulace Krejn-Milmanovy věty), Rieszova věta o reprezentaci 
       jako věta tohoto typu

   - množina extremálních bodů, její měřitelnost, Bauerova charakteristika

   - Choquetova věta o integrální reprezentaci (existence maximálních 
       reprezentujích měr), pojem nekonečně-dimenzionálního simplexu

   - Laplaceova transformace měr a funkcí, úplně monotonní funkce, 
       Bernsteinova věta

   - řešení Dirichletovy úlohy, harmonické míry, Perronovo zobecněné řešení, 
       regulární body, souvislost s předchozí teorií


 
2. Diferenciální a integrální počet v Banachových prostorech

   
  2.A. Diferenciální počet v Banachových prostorech

   - Gateauxova a Fréchetova derivace, zobrazení třídy $\Cal C ^1$

   - věta o implicitních funkcích a lokálním difeomorfizmu
   
   - derivování konvexních funkcí a normy


  2.B. Základy variačního počtu

    
   - formulace klasických úloh, metody řešení

   - Du Bois-Reymondovo lemma a Euler-Lagrangeovy rovnice

   - existenční věta pro konvexní zdola polospojité funkcionály v
       reflexivních Banachových prostorech


  2.C. Geometrie Banachových prostorů

   - uniformně a striktně konvexní prostory, příklady a základní vlastnosti

   - promítání v uniformně konvexních či reflexivních striktně 
       konvexních prostorech

   - hladké prostory, Kleeova věta o vztahu k striktně konvexním 
       prostorům a k derivaci normy
   
   - renormace separabilních Banachových prostorů


  2.D. Vektorové integrace}

   - Riemann-Gravesův integrál

   - silná a slabá měřitelnost, vztah mezi nimi

   - absolutní a bezpodmínečná konvergence v Banachových prostorech

   - definice Bochnerova integrálu a jeho základní vlastnosti

   - Dunfordovo lemma, Dunfordův a Pettisův integrál

   - těžiště jako Pettisův integrál

   - vztah Bochnerova a Pettisova integrálu

   - klasická Radon-Nikodýmova věta, derivování vektorových funkcí 
       omezené variace, prostory s RNP a KMP



Praha, 8. ledna 1998                  Jaroslav Lukeš