FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZA II

I. Topologické lineární prostory

1. Topologické lineární prostory
   • definice, příklady, základní vlastnosti
   • vlastnosti filtru okolí nuly, von Neumannovy axiomy, regularita
2. Lokálně konvexní prostory
   • definice, filtr okolí nuly, barely
   • barelované prostory, vztah k Banach-Steinhausově větě, Baireovy LCS, Fréchetovy prostory
   • Minkowského funkcionál, základní vlastnosti, jeho spojitost
   • omezené množiny podle Banacha i von Neumanna, Kolmogorovovo kriterium normovatelnosti, metrizovatelnost LCS
   • vytváření LCS pomocí systému pseudonorem, filtr okolí nuly, příklady, charakteristika konvergence
3. Slabé topologie a dualita
   • slabé topologie, duál ve slabé topologii, báze okolí nuly
   • Hahn-Banachova věta pro LCS
   • přípustné topologie, Mackeyova topologie, Mackey-Arensova věta
   • oddělování konvexních množin, malá Mazurova věta
   • uzávěr konvexní množiny v přípustných topologiích
   • (absolutní) polára a její vlastnosti, věta o bipoláře
   • silná topologie, reflexivita a semireflexivita LCS
   • Alaoglu-Bourbakiho věta, Goldstinovo lemma
   • charakteristiky reflexivních Banachových prostorů (Pettis, Banach-Bourbaki, James)
   • Eberlein-Šmulianova charakteristika kompaktních množin ve slabých topologiích Banachových prostorů
4. Kompaktní konvexní množiny
   • extremální body, příklady
   • Bauerův princip minima
   • Krejn-Milmanova věta a neprázdnost množiny extremálních bodů
   • extremální body omezených, uzavřených, konvexních množin v Banachových prostorech, Lindenstraussův výsledek, souvislost s prostory majícími Radon-Nikodýmovu vlastnost
   • extremální body a uzavřenost jednotkové sféry prostoru Radonových měr, aproximace molekulárními měrami
   • De Brangesův důkaz Stone-Weierstrassovy věty
5. Integrální reprezentace
   • pojem těžiště a reprezentující míry, ilustrace v eukleidovských prostorech (Caratheodoryova věta)
   • formulace úlohy o integrální reprezentaci, existence a jednoznačnost reprezentující míry soustředěné na uzávěru či množině extremálních bodů (reformulace Krejn-Milmanovy věty), Rieszova věta o reprezentaci jako věta tohoto typu
   • množina extremálních bodů, její měřitelnost, Bauerova charakteristika
   • Choquetova věta o integrální reprezentaci (existence maximálních reprezentujích měr), pojem nekonečně-dimenzionálního simplexu
   • Laplaceova transformace měr a funkcí, úplně monotonní funkce, Bernsteinova věta
   • řešení Dirichletovy úlohy, harmonické míry, Perronovo zobecněné řešení, regulární body, souvislost s předchozí teorií

II. Diferenciální a integrální počet v Banachových prostorech

1. Diferenciální počet v Banachových prostorech
   • Gateauxova a Fréchetova derivace, zobrazení třídy $\Cal C ^1$
   • věta o implicitních funkcích a lokálním difeomorfizmu
   • derivování konvexních funkcí a normy
2. Základy variačního počtu
   • formulace klasických úloh, metody řešení
   • Du Bois-Reymondovo lemma a Euler-Lagrangeovy rovnice
   • existenční věta pro konvexní zdola polospojité funkcionály v reflexivních Banachových prostorech
3. Geometrie Banachových prostorů
   • uniformně a striktně konvexní prostory, příklady a základní vlastnosti
   • promítání v uniformně konvexních či reflexivních striktně konvexních prostorech
   • hladké prostory, Kleeova věta o vztahu k striktně konvexním prostorům a k derivaci normy
   • renormace separabilních Banachových prostorů
4. Vektorové integrace
   • Riemann-Gravesův integrál
   • silná a slabá měřitelnost, vztah mezi nimi
   • absolutní a bezpodmínečná konvergence v Banachových prostorech
   • definice Bochnerova integrálu a jeho základní vlastnosti
   • Dunfordovo lemma, Dunfordův a Pettisův integrál
   • těžiště jako Pettisův integrál
   • vztah Bochnerova a Pettisova integrálu
   • klasická Radon-Nikodýmova věta, derivování vektorových funkcí omezené variace, prostory s RNP a KMP