FUNKCIONÁLNÍ  ANALÝZA  I
          
  
1. SPEKTRÁLNÍ  TEORIE

  
  1.A. Banachovy algebry

   - pojem Banachovy algebry, příklady ($C(K)$, lineární operátory 
       na Banachově prostoru, disková algebra, $L^1(\bold R)$
       s konvolucí, $l^1(\bold Z)$ )

   - otázka existence jednotky

   - spojitost násobení

   - vlastnosti množiny regulárních prvků (topologická  grupa, 
       otevřenost, vyjádření inverzního prvku a jeho norma)

   - spektrum, rezolventa a spektrální poloměr

   - rezolventní funkce

   - kompaktnost a neprázdnost spektra

   - Gelfand-Mazurova věta
   
   - Beurlingův vzoreček

 
  1.B. Gelfandova reprezentace}

    
   - charaktery jako multiplikativní funkcionály, prostor charakterů a 
       Gelfandova topologie na něm
   
   - Gelfandova transformace a její základní vlastnosti
   
   - příklady ($\Cal C (K)$, $l^1 (\bold Z)$)
   
   - kdy je Gelfandova reprezentaze prostým zobrazením (radikál 
       algebry), kdy izometrií a kdy je na (Gelfand-Naimarkova věta)
   

  1.C. Spektrální teorie v Hilbertových prostorech

   - hermiteovsky adjungované zobrazení (existence a vlastnosti), 
       souvislost s banachovsky adjungovaným zobrazením

   - diagonalizace matic, věta o hlavních osách

   - hermiteovské a normální operátory

   - norma hermiteovského operátoru

   - aproximativní spektrum - vztah ke spektru a bodovému
       spektru

   - charakteristika zdola omezených operátorů

   - Weylovo kriterium a jeho důsledky (spektrum
       hermiteovského operátoru, spektrum hermiteovského
       kompaktního operátoru)

   - Hilbert-Schmidtova věta (o úplnosti soustavy vlastních
       vektorů) a její důsledky (Hilbert-Schmidtova diagonalizace, 
       holomorfnost, póly a rezidua rezolventní funkce, řešení 
       operátorových rovnic rozvojem v řady)


  1.D. Funkční kalkulus

    - obecný pojem funkčního kalkulu

   - Dunfordův analytický kalkulus pro případ Banachových algeber a
       funkcí holomorfních na okolí spektra

   - pojem involuce, základy $C^*$--algeber)

   - Rieszův funkční kalkulus pro hermiteovské operátory a
       funkce spojité na spektru

   - pozitivní operátory, odmocnina, absolutní hodnota

   - rozšíření funkčního kalkulu pro omezené borelovské
       funkce na spektru

   - spektrální rozklad hermiteovského operátoru a souvislost 
       spektrální věty s Hilbert-Schmidtovou větou
     
    - myšlenka konstrukce funkčního kalkulu pro normální prvky 
        $\Cal C ^*$-algeber
  


2. TEORIE  DISTRIBUCÍ



  2.A. Prostor testovacích funkcí

     
    - prostor testovacích funkcí a konvergence na něm


  2.B. Distribuce


   - pojem distribuce

   - příklady distribucí : lokálně integrovatelné funkce,
       Radonovy míry, 1/x

   - Banach-Steinhausova věta pro distribuce

   - derivace distribucí

   - derivování řad ve smyslu distribucí

   - násobení distribucí hladkou funkcí, Schwartzova věta


  2.C. Fourierova transformace funkcí

   - Fourierova transformace pro funkce z $L^1$ 

   - Fourier-Plancherelova transformace (Parsevalova rovnost,
       existence, pojem unitárního operátoru)

   - hermiteovské funkce

   - vlastní čísla Fourier-Plancherelovy transformace
       a Wienerův přístup


  2.D. Fourierova transformace distribucí
  

   - Schwartzův prostor a konvergence v něm

   - temperované distribuce a jejich Fourierova transformace


 
 3. ZÁKLADY  NELINEÁRNÍ  FUNKCIONÁLNÍ  ANALÝZY


  3.A. Věty o pevných bodech
  

   - pojem FPP a retraktu

   - Brouwerova věta pro jednotkovou kouli a její zobecnění

   - Kakutaniho příklad

   - Schauderova věta a některá její zobecnění (důkaz pomocí
       renormace a Brouwerovy věty či přímo)

   - použití Schauderovy věty (existenční věty pro
       diferenciální a integrální rovnice)

   - invariantní podprostory, problém existence
       invariantního podprostoru, Aronszajn-Smithova věta


  3.B. Topologický stupeň


   - základní požadavky na topologický stupeň

   - Sardova věta jako spec.případ obecnějšího tvrzení

   - zavedení topologického stupně v prostorech konečné dimenze

   - důkaz Brouwerovy věty



4. Doplňky 


  4.A. Neomezené operátory}

   - operátory s hustým definičním oborech a uzavřeným grafem

   - adjungovaný operátor, jeho vlastnosti

   - symetrické a samoadjungované operátory

   - pojem inverze a spektra, vlastnosti

   - M\"obiova a Caleyova transformace

   - spektrální teorie neomezených samoadjungovaných operátorů


  4.B. Teorie semigrup

   
   - semigrupy operátorů, slabě a silně spojité semigrupy, příklady, 
       kontrakční semigrupy

   - infinitezimální generátor semigrupy, příklady

   - Hille-Yosidova charakteristika


Vědomosti z Úvodu do funkcionální analýzy:
   
   vlastnosti základních příkladů Banachových a Hilbertových 
   prostorů, topologické doplňky, promítání v Banachových a Hilbertových 
   prostorech, ortonormální báze, prostor lineárních zobrazení, 
   Fréchet-Rieszova věta o reprezentaci lineárních funkcionálů na 
   Hilbertových prostorech, popisy různých duálů, Hahn-Banachova věta 
   včetně důsledků, kanonické vnoření a reflexivní prostory, kompaktní 
   operátory, adjungovaná zobrazení, slabé konvergence, princip 
   stejnoměrné omezenosti, Banach-Steinhausova věta, Banachova věta o 
   otevřeném zobrazení, uzavřená zobrazení, kompaktnost a slabá 
   kompaktnost jednotkové koule v Banachových prostorech, spektrum 
   kompaktního operátoru




Praha, 8. ledna 1998                  Jaroslav Lukeš