FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZA I

I. SPEKTRÁLNÍ TEORIE

1. Banachovy algebry
   • pojem Banachovy algebry, příklady ($C(K)$, lineární operátory na Banachově prostoru, disková algebra, $L^1(\bold R)$ s konvolucí, $l^1(\bold Z)$ )
   • otázka existence jednotky
   • spojitost násobení
   • vlastnosti množiny regulárních prvků (topologická grupa, otevřenost, vyjádření inverzního prvku a jeho norma)
   • spektrum, rezolventa a spektrální poloměr
   • rezolventní funkce
   • kompaktnost a neprázdnost spektra
   • Gelfand-Mazurova věta
   • Beurlingův vzoreček
2. Gelfandova reprezentace
   • charaktery jako multiplikativní funkcionály, prostor charakterů a Gelfandova topologie na něm
   • Gelfandova transformace a její základní vlastnosti
   • příklady ($\Cal C (K)$, $l^1 (\bold Z)$)
   • kdy je Gelfandova reprezentaze prostým zobrazením (radikál algebry), kdy izometrií a kdy je na (Gelfand-Naimarkova věta)
3. Spektrální teorie v Hilbertových prostorech
   • hermiteovsky adjungované zobrazení (existence a vlastnosti), souvislost s banachovsky adjungovaným zobrazením
   • diagonalizace matic, věta o hlavních osách
   • hermiteovské a normální operátory
   • norma hermiteovského operátoru
   • aproximativní spektrum - vztah ke spektru a bodovému spektru
   • charakteristika zdola omezených operátorů
   • Weylovo kriterium a jeho důsledky (spektrum hermiteovského operátoru, spektrum hermiteovského kompaktního operátoru)
   • Hilbert-Schmidtova věta (o úplnosti soustavy vlastních vektorů) a její důsledky (Hilbert-Schmidtova diagonalizace, holomorfnost, póly a rezidua rezolventní funkce, řešení operátorových rovnic rozvojem v řady)
4. Funkční kalkulus
   • obecný pojem funkčního kalkulu
   • Dunfordův analytický kalkulus pro případ Banachových algeber a funkcí holomorfních na okolí spektra
   • pojem involuce, základy $C^*$--algeber)
   • Rieszův funkční kalkulus pro hermiteovské operátory a funkce spojité na spektru
   • pozitivní operátory, odmocnina, absolutní hodnota
   • rozšíření funkčního kalkulu pro omezené borelovské funkce na spektru
   • spektrální rozklad hermiteovského operátoru a souvislost spektrální věty s Hilbert-Schmidtovou větou
   • myšlenka konstrukce funkčního kalkulu pro normální prvky $\Cal C ^*$-algeber

II. TEORIE DISTRIBUCÍ

1. Prostor testovacích funkcí
   • prostor testovacích funkcí a konvergence na něm
2. Distribuce
   • pojem distribuce
   • příklady distribucí : lokálně integrovatelné funkce, Radonovy míry, 1/x
   • Banach-Steinhausova věta pro distribuce
   • derivace distribucí
   • derivování řad ve smyslu distribucí
   • násobení distribucí hladkou funkcí, Schwartzova věta
3. Fourierova transformace funkcí
   • Fourierova transformace pro funkce z $L^1$
   • Fourier-Plancherelova transformace (Parsevalova rovnost, existence, pojem unitárního operátoru)
   • hermiteovské funkce
   • vlastní čísla Fourier-Plancherelovy transformace a Wienerův přístup
4. Fourierova transformace distribucí
   • Schwartzův prostor a konvergence v něm
   • temperované distribuce a jejich Fourierova transformace

III. ZÁKLADY NELINEÁRNÍ FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY

1. Věty o pevných bodech
   • pojem FPP a retraktu
   • Brouwerova věta pro jednotkovou kouli a její zobecnění
   • Kakutaniho příklad
   • Schauderova věta a některá její zobecnění (důkaz pomocí renormace a Brouwerovy věty či přímo)
   • použití Schauderovy věty (existenční věty pro diferenciální a integrální rovnice)
   • invariantní podprostory, problém existence invariantního podprostoru, Aronszajn-Smithova věta
2. Topologický stupeň
   • základní požadavky na topologický stupeň
   • Sardova věta jako spec.případ obecnějšího tvrzení
   • zavedení topologického stupně v prostorech konečné dimenze
   • důkaz Brouwerovy věty

IV. Doplňky

1. Neomezené operátory
   • operátory s hustým definičním oborech a uzavřeným grafem
   • adjungovaný operátor, jeho vlastnosti
   • symetrické a samoadjungované operátory
   • pojem inverze a spektra, vlastnosti
   • M\"obiova a Caleyova transformace
   • spektrální teorie neomezených samoadjungovaných operátorů
2. Teorie semigrup
   • semigrupy operátorů, slabě a silně spojité semigrupy, příklady, kontrakční semigrupy
   • infinitezimální generátor semigrupy, příklady
   • Hille-Yosidova charakteristika

Vědomosti z Úvodu do funkcionální analýzy: