Lineární algebra pro geometry (3)

Spojení podprostorů ve vektorovém prostoru

Poznámka
Jak již jsme si všimli v předchozím textu, průnik dvou podprostorů vektorového prostoru je vždy neprázdný a je to vždy vektorový prostor. Otázkou bude, jak je tento průnik v konkrétním případě   "velký" .   "Mírou" této velikosti bude pro nás ovšem   dimenze .

Cvičení 64
Nechť   U   a   W   jsou proprostory vektorového prostoru   V .   Potom množina   U ∪ W   nemusí být podprostorem prostoru   V   (uveďte příklad) . Množina   U ∪ W   je podprostorem ve   V   právě tehdy, když buďto   U ⊂ W   nebo   W ⊂ U .

Definice V14  Nechť   U   a   W   jsou proprostory vektorového prostoru   V .  
Spojením podprostorů   U   a   W
  budeme rozumět podprostor   L(U ∪ W) .   Spojení podprostorů   U   a   W   budeme stručně označovat   U ∨ W .

Poznámka 1
Bylo by samozřejmě možné definovat spojení i většího množství podprostorů ...

Poznámka 2
Podle naší   definice V11   máme   U ∨ W = L(U ∪ W) ,   což je   průnik všech podprostorů prostoru   V ,   obsahujících   U ∪ W ,   neboli obsahujících jak   U ,   tak i   W .   Prosím, před řešením dalších cvičení si připoměňte výsledky cvičení 19 a 20 .

Cvičení 65
Je-li   M ⊂ V   nekonečná množina, pak  
L(M) = { r1.u1 + r2.u2 + ... + rn.un / u1 , u2 , ... , un ∈ M , r1 , r2 , ... , rn ∈ T , n ∈ N } ,  
tj. množina všech možných lineárních kombinací konečně mnoha prvků z množiny   M .

Cvičení 66
Nechť   U   má bazi   u1 , u2 , ... , uk   a   W   má bazi   w1 , w2 , ... , wl .   Potom skupina   u1 , u2 , ... , uk , w1 , w2 , ... , wl   je množinou generátorů prostoru   U ∨ W .

Cvičení 67
Nechť   U   a   W   jsou proprostory vektorového prostoru   V .   Potom   U ∨ W = { u + w / u ∈ U , w ∈ W } .

Úmluva
Na základě výsledku předchozího cvičení   (sčítá se každý prvek z   U   s každým prvkem z   W )   se množina   U ∨ W   označuje také symbolem   U + W   a říkává se jí   součet podprostorů   U   a   W .

Cvičení 68 !
Nechť   U   a   W   jsou proprostory vektorového prostoru   V .
Potom    dim (U ∩ W)   +   dim (U ∨ W)   =   dim U   +   dim W .

Poznámka 1
Předchozímu tvrzení se říkává   "věta o dimenzi průniku a spojení" podprostorů vektorového prostoru. V příslušné formuli je vpravo součet dimenzí, který je od začátku pevně dán. Tato hodnota se "rozděluje" mezi průnik a spojení těchto dvou podprostorů.

Poznámka 2
Zřejmě   U ∩ W   ⊂   U ∨ W .   Dimenze průniku bude maximální možná, pokud jeden z obou podprostorů bude částí druhého. Proto   dim (U ∩ W)   může nabývat hodnot   0 , ... , min (dim U , dim W)   (rostoucí pořadí)   a   dim (U ∨ W)   "doplňkových hodnot"   dim U + dim W , ... , max (dim U , dim W)   (klesající pořadí) .


"Spojení" podprostorů v afinním prostoru

Poznámka
Spojení dvou (nebo i většího počtu) podprostorů ve vektorovém prostoru jsme definovali jako lineární obal sjednocení těchto podprostorů, a byl to "nejmenší" vektorový podprostor (ve smyslu průniku), který je obsahoval.

Cvičení 69
Nechť je dán afinní prostor   A   a jeho dva podprostory   A'   a   A'' . Potom   A' ∪ A''   nemusí být podprostor afinního prostoru   A   - najděte si příklad. Zřejmě   A' ∪ A''   je podprostorem tehdy a jen tehdy, je-li jeden z podprostorů částí druhého.

Definice A13  Nechť je dán afinní prostor   A   a jeho dva podprostory   A'   a   A'' .   Spojením podprostorů   A'   a   A''   budeme rozumět průnik všech podprostorů prostoru   A   obsahujících   A' ∪ A'' .

Poznámka 1 ! a Úmluva
Při vytváření tohoto pojmu jsme se snažili o analogie s vektorovými prostory. Očekávali bychom, že i značení bude tedy analogické. Nicméně analogie mají svoje omezení - z jistých důvodů spojení dvou podprostorů afinního prostoru nebudeme značit   A' ∨ A''   ani   L( A', A'')   a už vůbec ne   A' + A'' ...

Poznámka 2 ! a Úmluva
... Namísto toho si vzpomeneme, že ve středoškolské geometrii byl velmi často používán např. pojem   "přímka určená dvěma (různými) body" .   Zamyslíme-li se na chvíli, vidíme, že se v našem slova smyslu jedná o   nejmenší podprostor, který oba body obsahuje .   Proto přestaneme používat termín   "spojení dvou afinních podprostorů"   a nahradíme ho pojmem   "podprostor určený dvěma podprostory"   a budeme používat značení   {A', A''} .

Cvičení 70
Nechť   A' = {B', V'}   a   A'' = {B'', V''} .   Potom   {A', A''} = {B', V' ∨ V'' ∨ L(B'' - B')} .   Zde   L(B'' - B')   znamená lineární obal   "vektoru příčky" ,   neboli podprostor tímto vektorem generovaný.

Poznámka
Značení vypadá trochu nepřehledně - složené závorky pro nás značí podprostory určené např. bodem a zaměřením nebo bodem a bazí zaměření nebo nyní i dvěma podprostory. Kromě toho je také používáme v množinovém smyslu. Jistě ale nedojde k nedorozuměním.

Cvičení 71
Jsou-li   B   a   C   dva různé body afinního prostoru, pak pro přímku určenou těmito dvěma body máme podle předchozího cvičení   {B, C} = {B, C - B} .   Tomu odpovídá parametrické vyjádření   X = B + t.(C - B) ,   kde   t   probíhá reálná čísla. S přihlédnutím k definici lineární kombinace bodů je možno psát také   X = (1 - t).B + t.C ,   nebo také   X = βB + γC ,   kde   β + γ = 1 . Kdybychom chtěli uvažovat jenm úsečku   BC ,   omezili bychom se s paramerem   t   jenom na interval   < 0 , 1 > ,   což by pro   β   a   γ   dalo doplňující podmínku, že musí být nezáporná.

Cvičení 72
Jsou-li   B1 , B2 , ... , Bk   body afinního prostoru   A ,   potom  
{B1 , B2 , ... , Bk}   =   { β1B1 + β2B2 + ... + βkBk / β1 + β2 + ... + βk = 1 } .
Jsou-li body   B1 , B2 , ... , Bk   lineárně nezávislé, potom dimenze prostoru   {B1 , B2 , ... , Bk}   (podprostor určený body)   je ovšem rovna   k-1 .

Vzájemná poloha podprostorů v afinním prostoru

Definice A14  Nechť je dán afinní prostor   A   se zaměřením   V   a jeho dva podprostory   A'   a   A''   se zaměřeními pořadě   V'   a V'' .
Budeme říkat, že   A'   a   A''   jsou rovnoběžné , jestliže   V' ⊂⊂ V''   nebo   V'' ⊂⊂ V' .
Budeme říkat, že   A'   a   A''   jsou různoběžné , jestliže nejsou rovnoběžné a   A' ∩ A''   je neprázdný.
Budeme říkat, že   A'   a   A''   jsou mimoběžné , jestliže nejsou rovnoběžné a   A' ∩ A''   je prázdný.

Poznámka 1
Výše uvedené pojmy se běžně užívaly ve středoškolské geometrii trojrozměrného prostoru, týkaly se přímek a rovin. Bylo by vhodné zkontrolovat, jestli naše   "dosavadní představy"   vytvořené na základě spíše intuitivním než definitorickém   "nekolidují"   s novým zavedením těchto pojmů za pomoci zaměření prostorů. To bude i námětem některých dalších úloh.

Poznámka 2
V   definici A14   o vzájemné poloze podprostorů rozhoduje
      1. vzájemná poloha jejich zaměření, specielně zda je jedno zaměření částí druhého,
      2. zda jejich průnik je prázdný či neprázdný.
První podmínku umíme prakticky vyhodnotit za pomoci věty o dimenzi spojení a průniku - v souřadnicích se to provádí pomocí standardní práce s vektory resp. s maticemi, tj. prostředky lineární algebry. Pokusíme se proto nalézt metodu, jak vyšetřit, zda průnik podprostorů je prázdný nebo neprázdný, aniž bychom "počítali společné body", tj. opět pomocí práce s vektory či s maticemi.

Cvičení 73
Uvažujme afinní rovinu   A2   a v ní dvě zadané přímky   p = {B, u}   a   q = {C, v} ,   kde   u   a   v   jsou nenulové vektory. Jedná se o standardní - i z hlediska středoškolské geometrie - zadání přímky   "bodem a směrovým vektorem" .   Můžeme si kreslit obrázky jako obvykle, rovinu   A2   můžeme prezentovat jako "rovinu papíru" , raději zatím bez souřadnicových os, vektor můžeme opět znázorňovat jako   "šipku".   Budeme-li nyní vyšetřovat možné vzájemné polohy těchto dvou přímek podle   definice A14 ,   naše   "životní zkušenosti"   nám říkají, že tyto přímky jsou buďto různoběžné nebo rovnoběžné nebo totožné - pojem totožnosti jsme však v   definici A14   nezavedli. Uvidíme, jak   "funguje"   definice A14 ,   tj. jestli nám dá   "stejné výsledky" .
      První možností z hlediska vektorů   u   a   v   je jejich lineární nezávislost. V tom případě jsou zaměření obou přímek, tj. prostory generované těmito vektory, různá, žádné ze zaměření není obsaženo v druhém. Podle   definice A14   prostory nejsou rovnoběžné, jsou tedy buďto různoběžné nebo mimoběžné. O těchto možnostech rozhoduje průnik obou podprostorů, přeloženo do češtiny :   zda mají či nemají společné body.
      Pro výpočet společných bodů lze sestavit rovnici za pomoci parametrických vyjádření obou přímek. Přímka   p   má parametrické vyjádření   (bez souřadnic)   X = B + t.u ,   přímka   q   se dá vyjádřit   X = C + t.v .   Na obou přímkách používáme zatím stejné označení pro parametr. Obě přímky budou mít společný bod právě tehdy, když existují reálná čísla   t   a   s   tak, že   (1)   B + t.u = C + s.v .   S touto rovnicí je ekvivalentní rovnice   (2)   C - B = t.u - s.v .   Algebraická interpretace řešitelnosti rovnice   (2)   je ale ta, že vektor   C - B   je anebo není lineární kombinací vektorů   u   a   v .
      Jaká je situace v rovině, jsou-li   u   a   v   lineárně nezávislé, je jasné. Vektor   C - B ,   tzv.   vektor příčky obou přímek ,   je nutně lineární kombinací vektorů   u   a   v   a dá se jako lineární kombinace vyjádřit jediným způsobem. Proto mají přímky   p   a   q   společný bod, a to jediný, jsou různoběžné. Možnost mimoběžnosti už nepřipadá v úvahu.
      Druhou možností je lineární závislost vektorů   u   a   v .   Zaměření obou podprostorů jsou si rovna,   L(u) = L(v)   (máme zde lineární obal jednoprvkové mmnožiny) .   Proto jsou obě přímky rovnoběžné i podle   definice A14 .   Jak je to s   "totožností"   obou přímek? To je zřejmě otázka společných bodů. Rovnice pro společné body je opět tatáž :   (2)   C - B = t.u - s.v .   Přímky budou mít společné body právě tehdy, když vektor   C - B   příčky obou přímek bude násobkem vektoru   u   (a tím pádem i   v ). Tím jsme probrali otázku řešitelnosti. Ale pokud vektor   C - B   bude násobkem vektoru   u ,   existuje nekonečně mnoho dvojic   t , s   tak, že je splněno   (2) .   Přesněji : ke každému t existuje s tak, že platí (2) . Obě přímky mají tedy nekonečně mnoho bodů společných, tj. právě všechny svoje body mají společné.
      Uvažujme na chvíli, že celý problém vzájemné polohy dvou přímek zkoumáme v   A3 .   Potom se objeví navíc ještě možnost mimoběžnosti - pokud by totiž vektory   u , v , C - B   byly lineárně nezávislé, nemohl by být vektor   C - B   lineární kombinací vektorů   u   a   v .   Proto by rovnice   (2)   neměla řešení a obě přímky by tedy neměly žádný společný bod... Zdá se tedy, že do možností vzájemné polohy podprostorů promlouvá nejen jejich dimenze, ale také dimenze   "velkého"   prostoru. Dvě přímky se nemohly   "minout"   v   A2 ,   ale mohou už se minout v   A3 .

Cvičení 74 Jsou-li   p = {B, u}   a   q = {C, v} ,   kde   u   a   v   jsou nenulové vektory, dvě přímky v   A3 ,   potom pro podprostor určený těmito dvěma přímkami, neboli nejmenší podprostor, který je obsahuje, můžeme psát   {p, q} = {B, u , v , C - B} .   Zde připouštíme i lineární závislost vektorů. V závislosti na vzájemné poloze může být   {p, q}   přímka, rovina nebo celý prostor   A3 .

Cvičení 75
Podobně jako ve   cvičení 73   si prozkoumejte sami možnosti vzájemné polohy přímky a roviny v   A3 ,   resp. dvou rovin v   A3 .

Cvičení 76
Nechť je dán afinní prostor   A   se zaměřením   V   a jeho dva podprostory   A'   a   A''   se zaměřeními pořadě   V'   a V'' .   Nechť   A'   a   A''   jsou rovnoběžné , přičemž   V' ⊂ V'' .   Potom buďto   A' ∩ A'' = Φ   nebo   A' ⊂ A'' .   Naopak, jestliže   A' ⊂ A'' ,   potom   V' ⊂ V'' .

Definice A15  Ve speciálním případě, kdy podprostory   A'   a   A''   splňují   A' ⊂ A'' ,   budeme říkat, že jsou   incidentní .   Tento vztah je ovšem speciálním případem rovnoběžnosti.

Poznámka
Náš případ   "totožnosti přímek"   popsaný ve   cvičení 73   je tedy speciálním případem incidence.

Cvičení 77
Nechť je dán afinní prostor   A   se zaměřením   V   a jeho dva podprostory   A' = { B', V' }   a   A'' = { B'' , V'' } .   Potom   A' ∩ A'' ≠ Φ   právě tehdy, když   B'' - B' ∈ V' ∨ V'' .

Cvičení 78
V daném afinním prostoru žádný podprostor nemůže být mimoběžný s nadrovinou.

Cvičení 79
Nechť je dán afinní prostor   An   se zaměřením   Vn   a jeho dva podprostory   A'n-1   (nadrovina)   se zaměřením V'n-1   a   A''k   se zaměřením V''k .   Potom   A'n-1   a   A''k   jsou buďto rovnoběžné nebo jsou různoběžné, přičemž jejich průnikem je podprostor dimenze   k - 1   (předchozí špatný údaj byl opraven).

Cvičení 80
Určete minimální   n   takové, aby v afinním prostoru dimenze   n   existovaly dva mimoběžné podprostory dimenzí   r   a   s .   Prozradíme řešení :   n = max (r, s) + 2 .