Matematika pro fyziky III (5. semestr)

• Kapitola 0. Opakovani: Pre-Hilbertuv, Hilbertuv a Banachuv prostor
• Nerovnosti v pre-Hilbertove prostoru: Cauchy-Schwarzova, trojuhelnikova, Youngova, Minkowskeho, Holderova
• Konvergence v Hilbertovych prostorech (konvergence v norme a cauchyovskost): Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost
• Separabilita: goniometricka a exponencialni baze na L^2(a,a+l)
• Prostor \mathcal{L}, prostor L^2(R^n) a prostory L^p(R^n)
• C^0([a,b]) v supremove norme je uplny (zopakovane vety: spojita na kompaktu, stejnomerna konvergence spojitych je spojita, Bolzano-Cauchyova, Weierstrassova)
• Kapitola 1. Prostor S(R^n) a Fourierova transformace
• Schwartzuv prostor S(R^n) a jeho vlastnosti
• Fourierova transformace a zpetna Fourierova transformace na S(R^n): Existence, algebraicke (translace, rotace, dilaltace) a analyticke (derivace, nasobeni polynomem) vlastnosti F. t., vztah derivace a nasobeni pri F. obrazu, F. t. je do S(R^n) ("slaba verze Riemann-Lebsgueovy vety")
• Inverzni formule (zpetna Fouriereova transformace je inverzni), Fourierova transformace je spojita
• S(R^n) a mathcal{L}(R^n), Prvni Planchereleova formule
• Vlastni hodnoty Fourierovy transformace a Hermitovy funkce (vc. Hermiteovych funkci vice promennych)
• Konvoluce - definice, (S(R^n),*) jako komutativni algebra, definice asociativni algebry a komutatoru, Fourierova transformace jako (izo-)homomorfizmus algeber
• Pozn.: Fourierova transformace na grupove algebre C[G], definice C[G], definice reprezentace grupy a definice konvoluce a F. t. na C[G]
• Druha Plancherelova formule - F je unitarni vzhledem k Leb. int. na S
• Dodatky: Fourier a konvoluce na L^1, L^2 (definice, inverzni formule, Plancherel, unitarita na L^2(R^n)); operatorova norma linearniho zobrazeni (konkretne F. t. na L^2(R^n)) (podrobneji obory analyzy parcialnich diferencialnich rovnic a mat. modelovani)
• Kapitola 2. Distribuce - konvergence a operace na nich
• Definice prostoru temperovanych (S'=S(R^n)') a regularnich distribuci (L^1_loc(R^n)'); konvergence v S'
• Definice Fourierovy transformace, derivace, nasobeni funkci, substituce F. t. a jejich vlastnosti; nosic distribuce, Diracova distribuce (Diracova delta funkce)
• Motivovanost (intuitivnost) definic: F.t., derivace a nasobeni polynomem pro regularni distribuce
• Konvoluce na prostorech distribuci, zejmena S'(R^n) (T*f, T*S, kde \in S a T ci S je s kompaktnim nocicem), F. t. konvoluce distribuci
• Derivace konvoluce funkci a distribuci (dementi pro L23 a L24, viz nize)
• Fourierova transformace a nasobeni polynomem, Fourierova transformace a derivace
• Intermezzo: Dalsi integralni formule
• Zopakovani obecne Stokesovy vety
• # a b (definice), hvezdicka (jen odkud kam zobrazuje, bylo ve 4. sem.)
• Gradient, divergence a rotace pomoci d, b a krizku - nakresleni v de Rhameove posloupnosti (komplexu)
• Normala k regularni k-plose s okrajem
• Gaussova veta o divergenci
• 1. Greenova a 2. Greenova formule
• Kapitola 3. Parcialni diferencialni rovnice na R^n, fundamentalni reseni
• (Parcialni) diferencialni oeprator r-teho radu, hlavni cast operatoru, (hlavni) symbol operatoru
• Laplaceuv, tepelny a vlnovy (d'Alembertuv) operator
• Pojem fundamentalni reseni pro parcialni diferencialni operator r-teho radu. Konvoluce s pravou stranou
• Gama a Beta funkce; obsah sfery S^{n-1}, objem koule B^n
• Laplaceuv operator: fundamentalni reseni
• Rovnice vedeni tepla: fundamentalni reseni ("tepelny gaussian"), reseni pro pocatecni podminku, reseni pro pocatecne okrajovou, reseni pro pocatnecne-okrajovou pro vtok, Duhameluv princip pro tepelnou rci
• Vlnova rovnice: Reseni ulohy pro pocatecni podminky (jsou dve: na y a na y'); Vzorce s \delta_{ia}, zejm. F(exp x), F(sin x) a F(cos x); Fourierova inverze sin(2\pi |\xi|):(2\pi |\xi|) pro n = 3 (pomoci Diracovy delta funkce na kuzeli): \delta_{|x|-t} (osvetlujici retardaci, mozny predstih a Huyghensuv princip). Reseni pocatecni ulohy pomoci integrace pres S_{(c)t}(x) (sfera o polomeru (c)t v bode x)
• Strucne o Schroedingerove, Cauchy-Riemannove a s ni souvisejici Diracove rovnici (relativisticke casove Schr. rci, nesouvisi s Diracovou distribuci)
• Pauliho matice, definice sl(2,C) a SL(2,C), komplexni linearni obal Pauliho matice je sl(2,C)
• Kapitola 4. Parcialni diferencilani rovnice na rotacne symetrickych plochach ("v geom. konstalacich")
• Invariance Laplaceova operatoru k O(n), rozdil oproti prevodu operatoru
• Konformni zobrazeni, Veta o Riemannove zobrazeni (Riemann Abbildungssatz), Laplace na sfere, Hodgeova teorie pro nultou kohomologii (jednoduse souvisla oblast v C=R^2) - bez dk.
• Laplaceuv operator na kouli K^n_R(0) v R^n - formulace okrajove ulohy
• Poissonuv tvar reseni pro okrajovou podminku bez dk. nabyti okrajove podminky, Poissonovo jadro
• Vynechan: Diracuv hreben, Dirichletovo jadro a s jeji pomoci Abelova parcialni sumace
• Kapitola 5. Doplnky minulych semestru - nezkousim na predterminu
• 5. S: Veta o Sturmove-Liouvillove problemu (bez dk.); (prohloubeni Hilbert-Schmidtovy a kompakni operatory - vynechano formalne)
• 2. S: Holonomni diferencialy a exaktnost, nutna podminka holonomnosti
• Nedodelali: 1. a 4. S - Laguerre, prohloubeni Legendrea, sfericke funkce; Darboux, mezihodnoty, Heine-Cantor, nutna pro ex. prim., post. pro ex. prim., spojita ma Riemanna pomoci Cantora. tzv. Riemannova funce (ne R. zeta funkce, ta byla)

• [1] Zapisky z prednasek
• [2] Pavel Cihak a kol., Matematika pro fyziky V, Matfyzpress, Praha, lib. rok
• [3] Ucebni text Vladimira Soucka, Matematicka analyza 5
• [4] Cerych, J., Cihak, P., Kopacek, J., Priklady z matematiky pro fyziky V, Matfyzpress, Praha, lib. rok
• [6] Treves, F., Basic Partial Differential Equations
• [7] Gelfand, I., Shilov, V., Obobsenye funkcie i castocyje preizvodnyje
• [8] Fucik, S., Kufner, A., Parcialni rovnice

Pre-Hilbertuv, Hilbertuv, Banachuv prostor, cauchyovskost, upnost; Schwartzuv prostor, multi-index, system (semi)norem na S; translace, dilatace, rotace (a jejich "zdvihy" na S ci jine prostory funkci); Fourierova transformace, zpetna Fourierova transformace, konvoluce v S, asociativni algebra, konv. v L^1 a L^2, prvni a druha Plancherelova formule; krizek #, be b, gradient, divergence, rotace a Laplace v \Omega^k(M) (vc. k = 0), Gaussova veta o divergenci, prvni a druha Greenova formule; distribuce temperovana a regularni, L_{1,loc}, konvergence v S'; derivace, Fourierova t., substituce a nasobeni (polynomem) distribuci, Diracova distribuce (Diracova delta funkce); Diferencialni operator, hlavni cast diferencialniho operatoru, (hlavni) symbol, elipticky operator; fundemantalni reseni; Laplaceuv, tepelny a vlnovy (d'Alembertuv) operator; funkce Gama, funcke Beta, objem \kappa_n koule B^n a obsah sfery S^{n-1} v R^n, fundementalni reseni Laplaceovy rovnice; pocatecni uloha, pocatecne-okrajova a pocatecne okrajova uloha pro vtok (vsechny tri) pro rovnici vedeni tepla, Duhameluv princip pro rci vedeni tepla; vlnova rovnice, pocatecni uloha pro vlnovou rovnici, distribuce (funkce) W_t, t>0, v n=3; Schroedingerova rovnice (ne rovnice pro vlastni cisla energie, ale casova)), reseni pro pocatecni podminku; Pauliho matice, gama matice Diracova rovnice, Cauchy-Riemannova rovnice; Sturmuv-Liouvilleuv problem; holonomni a neholonomi diferencialni forma

• Neredigovane poznamky z prednasek. Obcas zasah. Po zvetseni (u me na 150%) zcela citelne
• Poznamky - cast 1
• Poznamky - 2. cast (prazdne stranky neznamenaji, ze je vynechana prednaska ci latka)

• Definice: D1 - D22 (zatim)
• Znacky: \kappa_m, T - pro fund. reseni Laplaceovy rce), \Phi_t, W_t (mene ustalene: t_a, r_A, d_a, T_a, R_A), F, S, S', \delta, supp(T), L_{1,loc}, (mene ustalene:L_{1,loc}'),* (konvoluce), b, #, div, rot, grad, \Laplace na \Omega^0 i Omega^k, * (Hodgeova hevzdicka), (mink_n, euc_n) \eta_{mn}, \delta_{mn} b, #, H (kvaterniony), \sigma(Q)
• Tvrzeni: V1! (S jako v.p.), V2! (korektnost def. F na S), T3! (vlastnosti invariance F. t.), V4 (linearita F. t.), V5!!(F.t. a derivace a nasobeni polynomem), V6! (F: S \to S), V7!! (veta o inverzni F.t.), V8!!, V9, V10!! (Plancherel, prvni), V11! (vl. cisla), V12, V13!! (konvolucni algebra), V14!! (F.t. je homo pro *,.), V15!! (zpetny F.t. je homo pro *,.), V16!! (Plancherel druhy), V17!! (zpetny je homo pro .,*), V18! (Riemann-Lebesgueovo lemma, bez dk., viz ale "podobna"), V19!! (korektnost derivace a Fourierovy transf. distribuci), V20! (intuitivnost definic na reg. distribucich), V21!!(veta o "Gelfandove trojici"), [zde chybi nejake vety od doc. Zahradnika, rozumet a pochopit jim/je vsak mate, je to vic nez vhodne!], V26!!!(Gaussova veta o divergenci), V27!!(prvni Greenova formule), V28!!(druha Greenova formule), V29!! (o konvoluci s f.r.), V30!! (obsah sfery S^{n-1}, dukaz je nad tvrzenim), V31!(objem koule), V32!!(distribuce Laplace a Laplace distribuce, dukaz zkousim bez odhadu, nicmene mate vedet, co vytvori deltu (a "tim padem" co jde do nuly)), V33!!(F.r Laplaceovy rce; pro n=1 je dk. uveden opet nad formulaci!), V34!!(vedeni tepla, pocatecni uloha), V35!(vedeni tepla, pocatecni konvergence k Diracove distribuci), V36 (unicita jednotek v algebrach bez delitelu nuly), V37!! (vedeni tepla, pocatecne-okrajova uloha) V38! (vedeni tepla, pocatecne-okrajova uloha pro vtok), V39!! (vedeni tepla, Duhameluv princip; bez dk.), V40!! (vlnova rce, pocatecni uloha pomoci W_t (W_t je v integralnim tvaru)), V41!!(vlnova reovnice, Duhameluv princip, bez dk.), L42 (vzorecky pro F a Diracovu deltu), L43!!, V44 (vlnova rce, vypocet W_t jako regularni distribuce, dukaz je nad tvrzenim), V45 (vlnova rce, pocatecni uloha), V46-V54