Matematika pro fyziky II

• Kapitola 1. Abstraktni Stokesova veta a metricke struktury (pro integraci)
• Regularni k-plocha, hranice regularni k-plochy. Abstraktni Stokesova veta a jeji dukaz
• Klasicke verze pro bod, R, R^2 a R^3 (potencialovost, Greenova veta, veta o divergenci)
• Vnitrni (symetricke) diferencialni formy, Riemannova metrika, pull-back, spc. pull-back Eukleidovy metriky na plochu
• Gramova matice plochy \Phi. Integral prvniho druhu
• Poznamky o Hodgeove hvezdicce, divergenci, gardientu a Laplaceove operatoru na plochach; opet Maxwellovy rovnice
• Kapitola 2. Fourierovy rady a Uvod do teorie Hilbertovych prostoru
• Pre-Hilbertuv prostor. Opakovani konvergence v metrickych prostorech. Hilbertuv prostor. Cauchyovskost.
• Uplne ortonormalni systemy (hilbertovske baze). Rozdil baze a hilbertovske baze.
• Sdruzeny a samosdruzeny operator. Projekce a jejich existence.
• Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost.
• L^2(X) - definice, korektnost (L^2(X) je pre-Hilbertuv), L^2(X) je Hilbertuv jen formulace.
• Goniometricky a exponencialni system jsou hilbertovske baze na L^2([a, a+2\pi])
• Hermiteovy polynomy a funkce - rekurentni vzorce (alt. zvysovaci a sniozovaci operatory) a rovnice pro vlastni cisla Hamiltonianu oscilatoru
• Kapitola 3. Analyza v komplexnim oboru
• Holomorfni funkce. Cauchyovy-Riemannovy podminky, Wirtengerovy derivace a Dolbeualtovy diferencialy
• Integrace (komplexnich) funkci komplexni promenne. Nezavislost na ceste. Newtonuv vozrec. Existence primitivni funkce. Integral z holomorfni funkce pres hranici aneb Cauchyova veta.
• Cauchyuv vzorece pro U(z,R) a pro obecnou oblast.
• Laurentovy rady |||, reziduova veta a vzorce pro vypocet rezidui. Liouvilleova veta a Zakladni veta algebry.
• Citace zajimavych vet: Picardova, maximum modulu,

• [1] Zapisky prednasek
• [2] J. Kopacek, Matematika pro fyziky IV, Matfyzpress, Praha, lib. rok
• [3] Skripta prof. V. Soucka a kol. Matematicka analyza 4 , zapisky z r. 1997/98, pozor jde o pracovni text psany studenty, mj. i mnou, - obcas drobne preklepy
• [4] J. Kopacek, Priklady z matematiky pro fyziky III, IV, Matfyzpress, Praha, lib. rok
• [5] I. Cerny, Analyza v komplexnim oboru, Academia, Praha,
• [6] V. Jarnik, Integralni pocet II, Academia, Praha, lib. rok, velmi presne - dtto
• [7] W. Rudin, Analyza v realnem a komplexnim oboru, Academia (pro teorii miry a Lebesgueuv integral)
• [8] Skripta prof. W. Soergela , Univ. Freiburg
• [9] Pro prehlednost, jasnost a do jiste miry i ilustrativnost - ucebnice z techn. kniz. inzenyra; zvlaste CPLX analyza

• k-krychle, retezec, hranice (k-krychle a retezce), konzervativni sila (potencialova sila ci ekvivalentne potencialove pole), Greenova veta, veta o rotaci, veta o divergenci.
• Vnitrni neboli symetricka forma. Riemannova metrika. Pull-back Riemannovy metriky (diferencialni pozitivne definitni vnitrni 2-formy). Eukleidova metrika. Minkowskeho metrika (neni Riemannovou). Pull-back Eukleidovy metriky 2-plochou v 3-prostoru. Integral prvniho druhu. Objem k-plochy. Gramova matice Jac(\Phi)^T Jac(\Phi) a jeji (Gramuv dtereminant) - eventualne staci znat Gramuv vzorec (ten je i jako pojem nutny). [Nambu-Gotova akce]. Objem rovnobeznostenu. Definice * a jeji korektnost. [(skoro)involutivnost * v R^1,3; * je izomorfizmus; muzikalni izomorfizmy; gradient; divergence; Laplace.]
• pre-Hilbertuv prostor. Cauchyovskost (Cauchyovska posloupnost). Hilebertuv prostor. Cauchyova-Schwartzova nerovnost. Rovnobeznikove pravidlo (vzorecek). Trojuhelnikova nerovnost. Baze. OG-system, ON-system. Kovergence rad pres libovolne indexove mnoziny. Uplny ortonormalni system (altern. pre-Hilbertovska baze). Gaussuv aproximacni problem v konecne dimenzi. Sdruzeny operator (resp. sdrueni operatoru (koho, ceho)). Samosdruzeny operator. Projekce. Separabilni (pre-)Hilbertuv prostor a UONS vs baze. Relace ekvivalence. Trida ekvivalence. Lebesgueovy prostory. Jensen. Young. Minkowski. Trojuhelnikova nerovnost pro rady cisel a integraly funkci. Hermiteuv polynom. Doplnek neboli kolmitko.
• Holomorfnost. CR-podminky. Wirtingerovy derivace(neni nutne znat jmeno; staci der podle z a z-bar) a Dolbeaultovy diferencialy. Integral z funkce pres krivku v C. Nezavislost na ceste. Existence primitovni funkce. Cauchyova veta. Komplexni exponenciala, komplexni sinus, cosinus. Euleruv vzorec v C. Cauchyuv vzorec. Laurentova rada.||| Izolovane singularity. Singularita typu pol nasobnosti k. Podstatna Singularita. Koren nasobnost typu k. Reziduova veta. Vzorce pro vypocet rezidua. Reziduova veta. Zakladni veta algebry. Veta o maximu modulu (bez dk.)

• Definice: D.1.0, D