Matematicka analyza pro fyziky 1
Sylabus
- Kapitola 1. Uvod
- 1. Vyroky a vyrokove formule (vyroky, spojky, spravne utvorena formule vyrokove logiky, tautologie, pravdivostni tabulky,
vyrokove formy, obecny a existencni kvantifikator).
- 2. Relace: ekvivalence, usporadani (nejvetsi, nejmensi, maximalni, minimalni prvek, horni a dolni zavora, infimum, supremum), zobrazeni.
- 3. N, Z, Q, R - Dedekinduv model R (nezkousi se, jen na 1). Usporadane teleso (nezkousim, jen na 1). Zobrazeni (z do, do, proste, z na, vzajemne jednoznacne), funkce. Absolutni hodnota v R a v C. Trojuhelnikove nerovnosti.
- Kapitola 2. Limita a derivace - zakladni vlastnosti
- 1. Definice Limity. Zakladni vlastnosti.
- 2. Veta o aritmetice limit. Vety o limite slozene funkce.
- 3. Spojitost. Okoli realnych a komplexnich cisel. Reformulace definice limity pomoci okoli.
Souvislost spojitosti a limity.
- 4. Reformulace a rozsireni definice limity na nevlastni a v nevlastnich bodech.
- 5. Veta o prevedeni z nekonecen do nuly. Aritmetika limit pro obecnou limitu.
- 6. Definice derivace. Zakladni vlastnosti.
- 7. Aritmetika derivaci. Derivace slozene a derivace inverzni funkce.
- 8. Extempore 1: Parcialni derivace. Laplaceuv operator (nezkousim, ale kvuli Vasim ucitelum fyziky byste meli umet).
- 9. Extempore 2: Obycejne linearni diferencialni rovnice druheho radu s konstantnimi koefiecienty (nezkousi se).
-
Kapitola 3. Primitivni funkce (integral jako inverze k derivaci)
- 1. Definice primitivni funkce. Zakladni vlastnosti (nedodelek: dukaz unicita az na konstantu - viz pak Lagrangeova veta).
- 2. Aritmetika primitivnich funkci, vc. per partes.
- 3. Dve vety o substituci pro prim. funkce.
- 4. Polynomy. Racionalni lomene funkce. Parcialni zlomky (na cvicenich).
- 5. Substituce: e^x, ln x, odmocniny, Eulerovy, goniometricke - musite je umet odvodit (zkousejte si kvuli sobe), ne nazpamet.
-
Kapitola 4. Pokrocilejsi vlastnosti funkci spojitych a 1krat diferencovatelnych
funkci
- 1. Veta "spojita na uzavrenem je omezena", "spojita na uzavrenem nabyva extremu". Nekdy jsme pro jistotu rikali omezeny a uzavreny, nebot "nevime nic" o uzavrenosti
napr. (-infty, infty)
- 2. Vety o stredni hodnote: Rolleova, Lagrangeova, Cauchyova.
- 3. Vyssi derivace, diferencovatelna na intervalu, definice vektoroveho prostoru C^n(J), o Cauchyove tvaru zbytku Taylorova polynomu. Iracionalita e (dukaz nezkousim, jen na 1).
- 4. Male o, velke O, slaba ekvivalence, veta l'Hospitalova (nezkousim dukaz k/nekonecno)
-
Kapitola 5. Aplikace predchozi kapitoly na vysetrovani prubehu funkci
- 1. Roste, neroste, klesa a neklesa, ma mininum ostre/neostre, ma maximum ostre/neostre v bode, ma inflexi v bode.
- 2. Roste, neroste, klesa a neklesa, ma minimum ostre/neostre, ma maximum ostre/neostre, je konvexni, konkavni na intervalu.
- 3. Souvislost znamenka derivace a monotonie. Souvislost znamenka druhe derivace a tvaru.
- 4. Extempore: Heine (bez dk, zneni a dalsi vsak zkousim - je intuitivni). Policiste.
-
Kapitola 6. Riemannuv integral (integral jako obsah plochy pod grafem)
- 1. Definice - deleni interevalu, s, S, sigma.
- 2. Nektere nutne a postacujici podminky pro existenci R.i.
- 3. Aritmetika Riemannova integralu.
- 4. Zakladni veta integralniho poctu (vztah primitvni funkce a R.i., tzv. Newtonova-Leibnizova formule)
Literatura
- [1] Zapisky prednasek
- [2] J. Kopacek, Matematiky pro fyziky I, Matfyzpress, Praha, lib. rok, plus sbirka prikladu
- [3] Skripta prof. V. Soucka a kol.
Matematicka analyza 1 ,
zapisky z r. 1996/97, pozor jde o pracovni text psany studenty - obcas
chyby
- [4] J. Kopacek, Priklady z matematiky pro fyziky I, Matfyzpress, Praha, lib. rok
- [5] V. Jarnik, Diferencialni pocet I, Academia, Praha, lib. rok, velmi presne - hlubsi vhled
- [6] V. Jarnik, Integralni pocet I, Academia, Praha, lib. rok, velmi presne - dtto
- [7] Skripta prof. W. Soergela , Univ. Freiburg
- [8] Pro prehlednost, jasnost a do jiste miry i ilustrativnost - ucebnice z techn. kniz. inzenyra.
Publikace [2] a [4] si lze vypujcit v pujcovne skript v Troji a
v knihovnach MFF na Karlove nebo v Karline,
event. je lze zakoupit v prodejnach skript MFF (Karlin, Mala Strana - byv. "Erudio").
Publikace [5] a [6] k prezencnimu v Troji, Karline i Karlove. Jsou k dispozici i absencne, asi ale jen na Karline a Karlove.
Pojmy
-
Logika a mnoziny:
- Negace, konjunkce, disjunkce, implikace, obracena implikace, obmena implikace, ekvivalence, vyrokova forma, kvantifikator pro vsechna a existuje.
- Relace, relace ekvivalence (reflexivita, symetrie, tranzitivita), relace usporadani (antisymetrie), nejmensi a nejvetsi prvek (unicita), minimum a maximum,
relativni pojmy: horni zavora (majoranta), dolni zavora,
supremum, infimum.
- Zobrazeni - z do, do, proste, na, vzajemne jednoznacne, funkce, slozene zobrazeni, inverzni zobrazeni.
- Realna cisla - scitani realnych cisel, abelovska grupa, distributativnost, teleso, usporadane teleso. Jednoznacnost R (byla bez dukazu).
-
Limity:
- Vlastni limita funkce ve vlastnim bode, nevlastni limita, limita v nevlastnim bode,
(nevlastni limita v nevlastnim bode)
- Spojitost funkce v bode (vlastnim!)
- Verze limit: Limita zprava, zleva. Okoli - okoli, leve, prave, prstencove (redukovane) a
jeho levo- a pravostranne verze, vc. okoli nevlastnich bodu - trech nekonecen.
-
Derivace:
Derivace (jen ve vlastnim bode; umime spocitat i nevlastni,
pokud nerekneme jinak, je derivace vzdy vlastni, byt tim trochu oslabujeme vety).
-
Primitivni funkce:
Definice primitivni funkce, pravidlo per partes pro derivaci soucinu.
Polynom. Racionalni lomena funkce. Substituce exponencialni, logaritmicka,
odmocninova,
Eulerova, goniometricka. Rozklad na parcialni zlomky, jak jste meli na cviceni ci jak umite
- Globalizace pojmu: bod -> interval.
spojita na intervalu, diferencovatelna na intervalu, spojite diferencovatelna na intervalu, n krat (spojite) diferencovatelna na intervalu,
typy intervalu, spc. uzavreny (omezeny) interval, vnitrek intervalu, krajni body intervalu. Rikat omezeny u uzavreneho je zatim "pleonasmus" ve smyslu zlute slunce...
-
Tayloruv polynom:
Tayloruv polynom. Velke o, male o, slaba ekvivalence, zbytek Taylorova polynomu,
Cauchyuv tvar zbytku.
-
Prubehy funkci:
- Monotonie ostra/neostra v bode a na intervalu; monotonie je klesajicnost ci rostoucnost; neostre verze maji jmena, napr. neklesjici.
- Extrem ostry/neostry v bode a na intervalu; extrem je minimum ci maximum. Stacionarni body. Podezrele body.
- Tvar ostry/neostry v bode a na intervalu; tvar je konvexnost ci konkavnost; ostre verze maji jmena, napr. striktne konkavni. Inflexe v bode.
-
Riemannuv integral:
- Horni soucet, dolni soucet, deleni, Riemannuv integral.
-
Meli byste znat ke zdarnemu slozeni zkousky. Prepokladam, ze to znate z vasich strednich skol ci pripravnych kurzu MFF.
Vlastnosti goniometrickych fci (sin, cos, tg), hyperbolickych fci (sinh, cosh), cyklometrickych fci (asin, acos, asinh, acosh)
a exponencialy - na zaklade grafu, dale zakladni limity (ty v nule) pro
exponencialu, logaritmus a sinus - to jsme nedokazovali.
Soupis vet a definic nutnych ke zkousce, cisla jsou pro event. korekci ci doplneni vasich poznamek
- Jednoznacnost R jako usporadaneho telesa s vlastnosti suprema, T 2.1 jednoznacnost limity, T 2.2 omezenost funkce majici limitu,
! L 2.3 Lemma o odrazeni, 2.4 VoAL (veta o aritmetice limit),
! V 2.5 limita slozene (vnitrni "menava"), T 2.6 souvislost limity a limit jednostrannych, ! V 2.7 Limita slozene (vnejsi spojita),
T 2.8 limita a spojitost (souvislost), (!) T 2.9 Tvrzeni o prevedeni, V 2.10 Veta o aritmetice obecnych limit, T 2.11 1/0^{+/-} = +/- infty, 1/(+/- infty) = 0,
T 2.12 derivace -> spojitost, ! V 2.13 Veta o aritmetice derivaci (VoAD), ! V 2.14 Dreivace slozene, ! V
2.15 Derivace inverznislozene, 2.14 Derivace inverzni - zde nevim poradi 14. a 15,
! T 3.16 Jednozn. prim. funkce az na konst. (kompletnost dk. az po VoSH (Lagrange)),
! V 3.17 Aritmetika primitivnich funkci, V
3.18 per partes, ! V
3.19 Veta o substituci/primitivni funkce funkce slozene - 1. verze (jedn. pomoci "slozitejsi"),
! V
3.20 Veta o substituci/ primitivni funkce funkce slozene - 2. verze ("slozitejsi" pomoci jednodussi),!! V
4.21 Spojita na uz. (om.) int. je omezena, ! V
4.22
Spojita na uz. (om.) nabyva extremu, !!V
4.23 Rolle, !!V 4.24 Lagrange,
!!V 4.25 Cauchy, ! V 4.26 - dokonceni jednoznacnosti primitivnich funkci az na konstantu,
!!V 4.27 o Cauchyove zbytku Taylorova polynomu, !! V 4.28 l'Hospitalova
Extremy, Konk., konv.,
- Nejvetsi, nejmensi prvek, horni zavora, dolni zavora, supremum, infimum, zobrazeni jako relace, slozene, inverzni.
2.1 limita (vlastni ve vlastnim bode),
2.2 omezena funkce, 2.3 slozena funkce,
2.4 Ruzna okoli cisel z R a C, 2.5 limita zleva a zprava,
2.6 Spojitost, 2.7 Okoli nekonecen a "vyraz ma smysl",
2.8 Definice obecne limity,
2.9 Definice derivace, D Definice inverzni funkce, 3.10 Definice primitivni funkce,
definice polynomu
4.11 Spojita na intervalu, typy intervalu, ma derivaci,
n krat spojite diferencovatelna na intervalu
minimum maximum ostre neostre v bode, minimum maximum ostre neostre na Df, roste, klesa v bode, na intervalu, neroste/neklesa v bode na intervalu,
monotonni v bode na intervalu, konvexni konkavni na intervalu, inflexe v bode, deleni, zjemneni, s, S, S(D,\xi), Riemannuv integral, Riemannova suma