Matematika pro fyziky I

• Kapitola 1. Klasicky variacni pocet
• 1. Opakovani nekterych partii: spojita funkce na uzavrenem a omezenem intervalu, spojita funkce na kompaktni mnozine; normovany prostor
• 2. Zakladni pojmy: Funkcional, Frechetuv diferencial a Gateauxova derivace ve smeru; nutna podminka (stacionarni bod) a postacujici podminka
• 3. Klasicky funkcional: Euler-Lagrangeovy rovnice (nutna podminka); specialni pripady: nezavisi na x (konzervativni systemy), y (zachovani impulzu) ci y' (Beltramiho rovnice)
• Pr. katenoida
• Kapitola 2. Posloupnosti a rady funkci
• 1. Zakladni vlastnosti: stejnomerna a bodova konvergence, nutna podminka, Bolzanova-Cauchyova podminka, Weierstrassovo (majorizujici) kriterium
• 2. Aplikace na rady funkci: Abelova-Dirichletova podminka, Abelovo lemma o parcialni sumaci
• 3. Zamennosti: Limita a limita (aplikace na spojitost), limita a derivace, limita a Riemannuv integral, dale pak totez pro soucty.
• Pr. Riemannova zeta funkce a Eulerova soucinova formule.
• Kapitola 3.[X]. Vnejsi formy (linearni algebra) - predsazeno oproti osnove z pedagogickych duvodu
• Definice vnejsich forem zakladni vlastnosti. Priklady (determinant, vektorovy soucin).
• Definice vnejsiho soucinu a vlastnosti (asociativita, "antikomutativita" - gradovana komutativita, distributivnost vuci scitani a nasobeni -linearita). Vztah k linearni zavislosti (dk. pan Krizka).
• Pr.: Kleinova kvadrika (nekteri z vas ji potkaji v "twistorove fyzice").
• Kapitola 3. Zaklady teorie miry a Lebesgueova integralu
• 1. Sigma-algebra, mira, meritelny prostor.
• 2. Lebesgueova mira na R a jeji vlastnosti, existence nemeritelne mnoziny
• 3. Jendoduche a meritelne funkce a jejich vlastnosti. Leviho lemma, Leviho veta, Fatouovo lemma, Lebesgueova veta
• 4. Integraly zavisle na parametru
• 5. Lebsgueova mira na R^n, Veta o substituci a Fubiniho veta - bez dukazu
• 6. Zamennosti: Vlastnosti Lebesgueovy miry pro vypocty
• 7. Pr. Stephan-Boltzmannuv zakon (dzeta(4) az pristi semestr, Laplaceuv integral - \int_R e^{-x^2} dx).
• Kapitola 4. Diferencialni formy a jejich integral
• 1. Vnejsi diferencialni formy - Definice, opravnenost symbolu dx^i
• 2. deRhameuv diferencial: R-linearita, d^2 (koretezcove zobrazeni), (gradovana derivace) "leibnizovskost"
• 3. Pull-back (kotecne zobrazeni): linearita, chovani vuci nasobeni, komutativnost s deRhameovych diferencialem
• 4. Regularni parametrizovana plocha a integral pres jeji obraz; Dalsi vlastnosti operace pulling-back
• 5. Nezavislost integralu na orientaci zachovavajicich reparametrizacich
• 6. Maxwellovy rovnice a Hodgeova "hvezdicka"

• [1] Zapisky prednasek
• [2] J. Kopacek, Matematika pro fyziky II, III, Matfyzpress, Praha, lib. rok
• [3] Skripta prof. V. Soucka a kol. Matematicka analyza 3 , zapisky z r. 1997/98, pozor jde o pracovni text psany studenty, mj. i mnou, - obcas drobne preklepy
• [4] J. Kopacek, Priklady z matematiky pro fyziky II, III, Matfyzpress, Praha, lib. rok
• [5] V. Jarnik, Diferencialni pocet II, Academia, Praha, lib. rok, velmi presne
• [6] V. Jarnik, Integralni pocet II, Academia, Praha, lib. rok, velmi presne - dtto
• [7] W. Rudin, Analyza v realnem a komplexnim oboru, Academia (pro teorii miry a Lebesgueuv integral)
• [8] Skripta prof. W. Soergela , Univ. Freiburg
• [9] Pro prehlednost, jasnost a do jiste miry i ilustrativnost - ucebnice z techn. kniz. inzenyra.

Publikace [2] a [4] si lze vypujcit v pujcovne skript v Troji a v knihovnach MFF na Karlove nebo v Karline, event. je lze zakoupit v prodejnach skript MFF (Karlin, Mala Strana - byv. "Erudio"). Publikace [5] a [6] k prezencnimu v Troji, Karline i Karlove. Jsou k dispozici i absencne, asi ale jen na Karline a Karlove.

• 1. Variacni pocet
• Normovany prostor, funkcional (ne jen linearni, ne jen kovektor, tj. ne jen linearni forma na vekt. prostoru), Frechetuv diferencial funkcionalu a Gateauxova derivace funkcionalu ve smeru, klasicky funkcional neboli funkcional akce, Euler-Lagrangeovy rovnice, zachovani energie, Beltramiho rovnice; brachystochrona, nepresne odovozeni E-L rovnic.
• 2. Posloupnosti a rady funkci, stejnomerna konvergence
• konverguje stejnomerne posloupnost ci rada, konverguje bodove posloupnost ci rada, posloupnost \sigma_n, BC-podminka stejnomerne konvergence pro funkce (vc. reformulace) a pro rady (vc. reformulace), zamena limity ci sumy s limitou/derivaci/integralem; Weierstrassovo majorizujici kriterium, stejnomerne Abel-Dirichletovo kriterium, Abelovo lemmma o parcialni sumaci, stejnomerna Leibnizovo kriteruim stejnomerne konvergence; Riemannova dzeta funkce
• 3. [] Grassmannova (vnejsi) algebra
• Definice vnejsich k-forem (zejmena pomoci permutaci), "kanonicke" formy \epsilon, multiindexy, delka multiindexu, vnejsi nasobeni na kanonickych, vnejsi nasobeni obecnych, zakladni vlastnosti (linearita a prislusna "znamenkova" antisymetrie - kombinatorika usporadavani a zneusporadneni); Kleinova kvadrika
• 3. Lebesguoeva mitra a integral
• Sigma-algebra (trivialni a uplna sigma algebra), mira, meritelny prostor, meritelna mnozina; spc. pripad miry: (vnejsi) Lebesgueova mira, Lebsgueovsky meritelna mnozina, P^{L} je sigma algebra, konstrukce nemeritelna mnoziny. Jednoducha funkce, meritelna funkce, Dirichletova funkce z hlediska meritelnosti (jak chcete), Lebesgueuv integral - definice (f^+, f^-, vyraz ma smysl); vety o aproximaci (aproximace, aporximace meritelne jednoduchymi meritelnymi), algebra meritlenych funkci, analyza meritlenych funkci (dedeni na limsup a liminf); vyrok plati s.v./pro s.v. x; monotonie integralu na schodovitych, na meritelnych; linearita integralu na schodvitych, na meritlenych, na L.integrovatelnych; Linitni prechody: Leviho lemma, Leviho veta, Fatouova lemma, Lebesgueova veta (verze Leviho vety, Leviho veta pro sumy); Zameny integral a derivace, integral a limita. Integrace Planckova vyzarovaciho vzorecku, (Stephan-)Wienova konstanta pomoci dzeta funkce. L.i. pres meritelnou mnozinu. Meritelna s.v. nezaporna je L.i., majorizovana existence, Lebsgueova kriterium pro vypocet Lebesguea Riemannem, souvislost spojitych a meritelnych. Vice rozmeru: Fubini, substituce, regularni zobrazeni; Laplaceuv integral (\int_R e^{-x^2}).
• 4. Vnejsi diferencialni formy a integrovani na k-plochach
• Vnejsi diferencialni forma, deRhamuv diferencial a vlastnosti: linearita, leibnizovskost, podminka komplexu. Pull-back neboli kotecne zobrazeni a vlastnosti k souctu nasobeni a k deRhameove diferencialu). Parametrizovana//CTVRTEK: Integral z k-formy pres k-plochu (v n-prostoru). Nezavislost integrace na parametrizaci z kladnym determinantem Hodgeova hvezdicka? -nevim, zda stihnu. Maxwella nejspis nestihneme.

• Tvrzeni: V1.1, !V 1.2(n.p.), !V1.3, !L1.4, !L1.5, !!V1.6 (o Eulerovych-Lagrangeovych rovnicich), V2.7 (n.p. st.k.),!!V2.8 ('stejnomerna' B-C), !V2.10 (stejnomerne B-C rady), !V2.11(majorizujici Weierstrassovo kriterium), V2.12 (dusledek Weier.), !V2.13 (kriterium pomoci sigm_n), !V2.14 (zameny limit), !V2.15 ('dedeni' spojitosti), !!V2.16 (zamena limity a derivace), !V2.17 (zamena limity a integralu), V 2.18, V 2.19, V 2.20 (totez pro rady), !V 2.21 (Abelova paricalni sumace), !!V 2.22 (Abelovo-Dirichletovo kriterium), !V2.23 Leibnizovo kriterium, !V3.1 (MH3.24), !L3.2(kombinatoricke, MH3.25), !L3.3 (kombi MH 3.26), !V3.4 (o korektnosti definice vnejsiho nasobeni - spise blbost, MH3.27), !V3.5 (baze vnejsi algebry MH3.28), !V3.6 (lin. zavislost, MH3.29), L3.24 (monotonie venjsi L. miry, MH 3.30), L3.25 (sigma-subaditivita vnejsi miry 31), !L3.26 (vnejsi mira neni mira na 2^R, konstrukde nemer. mnoziny, ale lze nalezt i na wiki), !!V3.27(vnejsi mira na lebesgueovsky [s se necte e se necte, u pred e se necte, pokud je v neznele slabice] meritelnych je mira), V3.28 (uplnost L-miry), !V3.29 (existence jednoduchych aproximujicich), L3.30 (existence jednoduchych meritelnych aproximujicich), V3.31 (analyza meritelnych sup, inf..; z logickeho hlediska lze posunout o set vet dopredu), !V3.32 (aritmetika/algebra jednoduchych), !V3.33 (chovani jednoduchych k usporadani), !V3.34 (chovani meritelnych k usporadani), V3.35 (aritmetika meritelnych), V3.36 (limita vzhledem ke mnozine, de facto bez dk., jen procedura, jak dokazovat), !!V3.37 (Beppa Leviho Lemma), !!V3.38 (Leviho veta), V3.39 (Leviho veta 2), !!V3.40 (Fatouovo [fatuuu, tu tu] lemma), !V3.41 (Fatouovo lemma 2), !!V3.42 (Lebesgueova veta), V3.43 (Leviho veta II), !V3.44 (zamena limity a Lebesguea), V 3.45 (zamena derivace a Lebesguea, jen zakladni principy dukazu), !V3.46 (meritelna nezaporna je z L s hv.; bez dk.), V3.47 (policiste pro Lebesguea), !V3.48 spojita na meritelne je meritelna, !V3.49 (Lebesgueovo kriterium pro Riemannuv integral), !!V3.50 (substituce), !!V3.51 (Fubini); !V4.52 (vlastnosti deRhameova diferencialu), 4.53 (vlastnosti pull-backu). (BASNICKA: f je spoj. na mer, tj. je mer; jezto je tedy mer a my vime, ze je nez, je nez., je z L s hvezdickou; policiste nam pak reknou, ze jsou z L; nakonec Lebeg rekne, ze to mam spocitat Riemannem.)
• Definice: D.1.0, D